2. Векторные поля на плоскости. Векторные линии

Пусть задано плоское векторное поле A, то есть в каждой точке M плоскости (или некоторой ее части) определен вектор А(М ), также лежащий в этой плоскости. Такое поле проще всего представлять себе как поле скоростей частиц газа или жидкости при стационарном течении в узком слое, но оно может иметь и другой физический смысл (гравитационное поле, электрическое поле и т.д.).

Будем считать, что вектор А(М) непрерывно зависит от точки M, за исключением, быть может, отдельных точек, в которых поле может быть и не определено. Точка М, в которой поле не определено, или теряет непрерывность, или равно нуль-вектору (и тем самым направление поля в ней не определено), называется особой точкой этого поля. Будем считать, что таких точек имеется лишь конечное число.

Векторные линии поля А - это линии, которые в каждой своей точке М идут по направлению поля, то есть касаются вектора А(М ). Для поля скоростей при стационарном течении газа это траектории частиц газа, для силового поля это силовые линии. При некоторых разумных предположениях можно доказать, что через каждую неособую точку проходит ровно одна векторная линия. Направление векторов поля определяет также ориентацию векторных линий, которая обозначается стрелкой.

Вблизи не особой точки М0 векторные линии напоминают слегка искривленную совокупность параллельных, одинаково направленных отрезков (рис. 1). В окрестности особой точки М0 картина векторных линий может быть весьма разнообразной. Так, основные примеры, появляющиеся в гидродинамике, показаны на рис. 2. Из законов движения жидкости вытекает, что в этих примерах | A(M ) | ? при M M0 .

Векторные линии можно найти с помощью решения дифференциального уравнения, введя на плоскости систему координат. Например, если применяются декартовы координаты x, y, то, обозначив координаты точки М через x, y, а проекции вектора A(M ) через P (x, y), Q(x, y), получаем дифференциальное уравнение векторных линий:

В математике обычно плоское векторное поле трактуют как поле скоростей точек на плоскости. Тогда движение этих точек определяется системой дифференциальных уравнений, где точка над буквой означает производную по времени t. Обратно, пусть мы исходим из системы (2,1); такая система, для которой в правые части не входит независимая переменная t, называется автономной. Тогда независимо от смысла величин x, y мы можем трактовать их как координаты точек на плоскости (в этом случае она называется фазовой плоскостью), а решения - как законы движения этих точек; при этом траектории точек являются векторными линиями поля A = (P, Q ). Если функции P и Q непрерывные, то особыми точками поля являются точки (x0 , y0), в которых P(x0 , y0) = Q(x0 , y0) = 0; им отвечают решения вида x(t) = x0 , y(t) = y0 , и поэтому они называются точками покоя для системы (2,1). Наиболее распространенные типы поведения траекторий вблизи точки покоя М0 показаны на рис. 3. Отметим, что траектории на рис. 3, а, отличные от точки покоя M0 (точка покоя тоже траектория), не проходят через нее, а асимптотически приближаются к M0 при t ? или t - ?. То же относится к траекториям на рис. 3, в и к четырем траекториям на рис. 3, б.