3 Квадратные неравенства
Квадратными неравенствами называются неравенства вида ; гдепеременная; действительные числа, причем
Существуют два метода решения квадратных неравенств: графический и аналитический.
1. При графическом методе решения определяется одно из шести возможных расположений графика - в зависимости от знаков старшего коэффициента и дискриминанта D.
Например, если рассматривать неравенство то его решением будут следующие значения :
1) если;
2) , если ;
3) нет решений, если ;
4) если ;
5) , если ;
6) , если.
2. При аналитическом методе решения находятся корни квадратного трехчлена и он раскладывается на множители: Далее, если то неравенство равносильноесли то неравенство равносильно. Затем полученные неравенства можно решить методом интервалов.
Пример 1. Решить неравенство: .
Решение: В зависимости от значений трехчлен имеет знаки:
Таким образом, трехчлен положителен при .
Ответ: .
Пример 2. Решить неравенство:
Решение: Трехчлен в левой части неравенства представляет собой полный квадрат, следовательно, он положителен при всех кроме.
Ответ: .
Пример 3. Решить неравенство: .
Решение: Так как дискриминант , то трехчлен не имеет действительных корней, следовательно, парабола, являющаяся графиком этого трехчлена, не пересекает ось Ох, а так как коэффициент при положителен, то ветви параболы направлены вверх и трехчлен положителен при всех
Ответ: R.
- Введение
- 2 Линейные неравенства с одной переменной
- 3 Квадратные неравенства
- 4 Рациональные неравенства
- 5 Неравенства, содержащие знак модуля
- 5.1 Решение неравенств вида
- 5.2 Неравенство вида
- 5.3 Неравенство вида
- 5.4 Неравенство вида
- 5.5 Решение неравенств с модулями методом введения новой переменной
- 5.7 Неравенство вида
- Заключение
- Основные методы решения систем двух неравенств с двумя неизвестными
- 14 . Логарифмические неравенства. Основные методы решения логарифмических неравенств
- 12. Показательные неравенства. Основные методы решения показательных неравенств.
- 10. Иррациональные неравенства. Основные методы решения иррациональных неравенств
- Иррациональные уравнения и неравенства. Основные методы и способы их решения.
- 14 . Логарифмические неравенства. Основные методы решения логарифмических неравенств
- 10. Иррациональные неравенства. Основные методы решения иррациональных неравенств
- 16. Основные методы решения тригонометрических неравенств
- Основные методы решения систем двух неравенств с двумя неизвестными