5.7 Неравенство вида

- некоторые действительные числа, можно решать методом интервалов:

1) находятся точки, в которых функции равны 0 или не существуют;

2) найденные точки размещаются на числовой прямой, которая тем самым разбивается на интервалы знакопостоянства функций ;

3) на каждом интервале неравенство решается с учетом знака функций (соответственно раскрываются знаки модуля);

4) объединяются решения, найденные на каждом интервале.

Пример. Решить неравенство

Решение. Выражения, стоящие под знаком модуля обращаются в 0 при и, значит, сохраняют постоянный знак в каждом из промежутков . На этих промежутках выражения и имеют следующие знаки:

Рассмотрим неравенство в каждом из трех промежутков.

1)

<0; ;

Таким образом, откуда , т. е. .

2)

3)

Тогда откуда т.е..

4) .

Тогда откуда т.е. .

Так как , то окончательно получим, что .

Ответ: .

5.8 Нестандартные методы решения неравенств с модулями

При решении некоторых неравенств с модулями целесообразно использовать свойства функций, входящих в них.

Рассмотрим один из эффективных методов нестандартного решения неравенств - метод замены множителей. Он позволяет быстро и эффективно решать целый класс неравенств повышенной сложности, приводя их тем самым к рациональным неравенствам. Оказывается, достаточно широкий класс неравенств допускает подобную попытку. Удивительно, что этот метод оказался вне поля зрения многих авторов учебников по математике.

Основная идея метода:

Методом замены множителей решаются неравенства, приводимые к виду

(1)

где символ "V" обозначает один из четырех возможных знаков неравенства:<, ?, >, ?.

При решении неравенства (1) нас интересует только знак любого множителя в числителе или знаменателе, а не абсолютная его величина. Поэтому, если нам неудобно работать с данным множителем, мы можем заменить его на другой знакосовпадающий с ним в области определения неравенства и имеющий в этой области те же корни. Это и определяет основную идею метода замены множителей. Важно зафиксировать тот факт, что замена множителей осуществляется только при условии приведения неравенства к виду (1), то есть, когда требуется сравнить произведение с нулем.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся замены.

Из определения строго монотонной функции непосредственно вытекает следующие утверждения:

Утверждение 1. Функция - строго возрастающая тогда и только тогда, когда для любых значений и из области определения функции разность совпадает по знаку с разностью , то есть

- строго возрастающая ? ,

(символ «-» означает знакосовпадение);

Утверждение 2. Функция - строго убывающая тогда и только тогда, когда для любых значений и из области определения функции разность совпадает по знаку с разностью , то есть

- строго убывающая ? .

Отсюда получаем две основные замены: -,

если - строго возрастающая функция; -,

если - строго убывающая функция.

Рассмотрим функцию вида Функция привозрастает на множестве неотрицательных чисел, а при нечётном натуральном - на всей числовой оси. Поэтому справедливы следующие замены:

(2)

(3)

при натуральном .

Рассмотрим на множестве неотрицательных чисел функции и, являющиеся взаимно обратными и строго возрастающими. Имеем:

, поэтому

(4)

где (5)

Учитывая, что и для любых , получаем, что ; (6)

. (7)

Удобны следующие две замены:

, (8)

Популярный знакопостоянный множитель - квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом можно заменить на старший коэффициент (или на свободный член), то есть

(при D<0). (9)

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Воспользуемся утверждением (7) и заменим разность модулей соответствующими разностями квадратов. Получим равносильное неравенствоОтвет: .

Пример 2. Решить неравенство

Решение: В силу сформулированного утверждения (7)

Поэтому сразу перейдем к следующему неравенству, равносильному данному:

Вновь воспользовавшись тем же преобразованием, а также заменой (6), получим неравенство .

Последнее неравенство решим методом интервалов.

Ответ: