Заключение

При выполнении данной работы я изучила свойства числовых неравенств, методы решения линейных, квадратных, рациональных и нестандартных неравенств с модулем, что позволило мне расширить свой математический кругозор и заглянуть за рамки школьной программы. Работа над данной темой доставила мне не только трудности, но и удовольствие.

Я восстановила в памяти весь теоретический материал, углубила и расширила свои знания по методам решения неравенств. С этой работой я выступила на ученическом научном обществе «Шаг к успеху» перед своими одноклассниками, которым работа очень понравилась.

Материалы моей работы можно использовать для самостоятельной подготовки к тестовому контролю знаний, используемому на централизованном тестировании, вступительных и выпускных экзаменах.

Литература

1. Ананченко, К.О. Алгебра: учебник для 9 класса с углубленным изучением математики/ Н.Т. Воробьев, Г.Н. Петровский. - Минск: Народная Асвета.- 1999.

2. Мамонтова, Г.Г. Математика. Подготовка к тестированию/Г.Г. Мамонтова. - Минск, ООО «Новое Знание». - 2005.

3. Мерзляк, А.Г. Алгебраический тренажер/ А.Г. Мерзляк. - Киев, «А.С.К.». - 1997.

Приложение

1. Примеры решения линейных неравенств с одной переменной

Пример 1. Решить неравенство .

Решение. Соберем слагаемые, содержащие переменную слева, остальные перенесем в правую часть:

Возможны три случая:

1) , т.е.тогда ;

2) т.е. тогда

3) т.е., тогда, нет решений.

Ответ: при

при

нет решений при

Пример 2. Решить неравенство .

Решение. При неравенство не имеет смысла. Оно является линейным, поэтому соберем все члены, содержащие переменную , в его левой части, а остальные - в правой:

.

Преобразуем левую часть неравенства:

.

Разделим почленно слагаемые, стоящие в числителе левой части неравенства, на знаменатель:

.

Перенесем слагаемое, не содержащее переменную , вправо:

.

Запишем правую часть неравенства в виде дроби:

.

Преобразуем неравенство: Исходное неравенство равносильно следующему: Решение данного неравенства зависит от выражения если илиесли

.

Тогда, если или , то если то если

или, то решений нет.

Ответ: при;

;

нет решений при .

2. Квадратные неравенства

Пример. Найти целочисленные решения неравенства

Решение: Рассмотрим два способа решения.

1 способ (графический). Рассмотрим функцию Найдем корни квадратного трехчлена, для этого решим уравнение

Из графика функции следует, что если . Целые числа интервала: 1,2,3.

2 способ (аналитический). Корни квадратного трехчлена равны: . Разложим его на множители и запишем неравенство:

или .

Отметим точки на координатной прямой и определим знаки трехчлена на соответствующих интервалах:

Итак, . Целые решения: 1, 2, 3.

Ответ: 1, 2, 3.

3. Примеры решения рациональных неравенств

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Данное неравенство содержит два нелинейных множителя: и .

Поскольку дискриминант квадратного трехчлена отрицательный, то для всех Квадратный трехчлен разложим на множители: Тогда исходное неравенство равносильно неравенству Решим его методом интервалов:

Ответ:.

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Приведем исходное неравенство к виду . Имеем:

.

Поскольку при всех , то данное неравенство равносильно такому: . Решим его методом интервалов:

Ответ: .

4. Неравенства, содержащие знак модуля

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Приведем исходное неравенство к виду :

.

Перейдем к равносильной системе:

Имеем:

Решением первого неравенства системы является любое , а решением второго является или .

Ответ: .

Пример 2. Решить неравенство .

Решение: Запишем совокупность, равносильную исходному неравенству:

Найдем корни квадратного трехчлена :

Решая неравенства методом интервалов, получим или .

Ответ: .

Пример 3. Решить неравенство .

Решение. Исходное неравенство перепишем в виде .

Оно равносильно совокупности неравенств

Множество решений совокупности, а следовательно, и исходного неравенства состоит из объединения двух промежутков:

Ответ:

Пример 4. Решить неравенство

Решение. Решим это неравенство двумя способами.

1 способ. Корни подмодульных выражений разбивают числовую прямую на интервалы, в каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют свой знак.

Полученное неравенство равносильно совокупности трех систем:

2 способ. На плоскости построим графики функций

Для построения графика функции найдем значения Графиком функции является ломаная линия. Графиком функции - прямая.

График функции расположен выше графика функции для . Таким образом, решениями исходного равенства являются все .

Ответ: .

5. Нестандартные методы решения неравенств с модулями

При решении некоторых неравенств с модулями целесообразно использовать свойства функций, входящих в них.

Область определения. Понятие «область определения функции» полезно «увязывать» с понятием «область определения неравенства». Как известно, что неравенство с одной переменной можно записать в виде где и - некоторые функции.

Область определения неравенства представляет собой пересечение областей определения функций и , т.е. Д()Д().

Иногда нахождение области определения неравенства позволяет доказать, что неравенство не имеет решений, либо найти их.

Пример 1. Решить неравенство .

Решение. Найдем область определения неравенства:

Подставляя в данное неравенство, получаем, что его левая часть равна нулю, правая равна 1, т.е. есть решение исходного неравенства. Рассуждая аналогично, легко показать, что также является решением.

Ответ: .

Промежутки знакопостоянства. При решении некоторых неравенств полезно рассматривать промежутки, на которых значения функции и сохраняют свой знак.

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Найдем область определения неравенства:

.

Поскольку функция, стоящая в левой части неравенства, принимает только неположительные значения при , а функция, стоящая в правой части неравенства, - только положительные значения то множество решений неравенства совпадает с областью его определения.

Ответ: [-1;1].

Четность функций. Заметим, что если функция четная, то при решении неравенства, достаточно найти только множество неотрицательных решений, а затем к полученному множеству решения присоединить числовое множество, симметричное найденному относительно нуля на координатной прямой.

Пример 3. Решить неравенство .

Решение. Функция четная. Найдем множество решений данного неравенства при условии, что , т. е. решим систему неравенств:

Воспользуемся свойством четности функции, входящей в неравенство, и запишем ответ.

Ответ: .

Пример 4. Решить неравенство .

Решение. Данное неравенство равносильно неравенству .

Рассмотрим функцию , Д(. Легко показать, что она является четной. Найдем множество решений данного неравенства при :

В силу четности функции любое число, удовлетворяющее неравенству , также является решением исходного неравенства.

Ответ: .

Графики функций. Иногда при решении неравенств полезно рассмотреть схематическое изображение графиков их правой и левой частей. Это изображение может помочь выяснить, на какие числовые промежутки надо разбить координатную прямую, чтобы на каждом из них определить решение неравенства. Заметим, что схематическое изображение графиков лишь помогает найти решение, но его надо еще обосновать.

Пример 5. Решить неравенство и дать геометрическую интерпретацию.

Решение. Имеем:

Решив совокупность, получим ответ: . Дадим геометрическую интерпретацию полученного решения. Построим графики функций и .

Легко найти координаты точки их пересечения: (1;1). Очевидно, что при любом .

Ответ: .

Решение неравенств с использованием свойств модуля. При решении неравенств с модулем иногда можно достичь цели быстрее, применяя свойства модуля действительного числа, чем остальные методы решения. Укажем на некоторые свойства модуля.

Пусть a и b - действительные числа, и - некоторые функции.

1. а)

б)

2. а) Для любого положительного действительного числа имеет смысл неравенство .

б) , где при любом из области определения этой функции.

Решениями неравенства вида являются все действительные числа из области определения неравенства, за исключением тех значений переменной , которые являются решениями системы уравнений:

Пример 6. Решить неравенство .

Решение. Область определения неравенства . Для нахождения множества решений данного неравенства надо из области его определения исключить все решения системы Эта система имеет единственное решение .

Ответ: .