§ 2. Диофантовы уравнения, пифагоровы тройки и Великая теорема Ферма

Диофантово уравнение - это уравнение вида P(x₁ , … , x_n) = 0, где левая часть представляет собой многочлен от переменных x₁ , … , x_n с целыми коэффициентами. Любой упорядоченный набор (u₁ ; … ; u_n) целых чисел со свойством P(u₁ , … , u_n) = 0 называется (частным) решением диофантова уравнения P(x₁ , … , x_n) = 0. Решить диофантово уравнение - значит найти все его решения, или, как говорят, общее решение этого уравнения. Часто диофантовыми называют и уравнения вида P(x₁ , … , x_n) = Q(x₁ , … , x_n), где в левой и правой частях стоят многочлены от переменных x₁ , … , x_n : их всегда можно записать в виде диофантовых уравнений P(x₁ , … , x_n) - Q(x₁ , … , x_n) = 0.

Эти уравнения названы в честь Диофанта Александрийского (жил около III в. до РХ), о жизни которого почти ничего не известно. Через века до нас дошли шесть книг из тринадцати его главного труда “Арифметика” и книга “О многоугольных числах”. Выражаясь современным языком, он разрабатывал приёмы нахождения рациональных решений алгебраических уравнений от нескольких неизвестных.

Примеры: 1. 3x - 8 = 0 - диофантово уравнение первой степени от одной переменной x. Очевидно, что оно не имеет решений, т.к. 8 не делится нацело на 3. В то же время, это уравнение имеет корень x = , который не является целым.

2. Диофантово уравнение 6x = 24 имеет единственное решение x = 4.

3. В курсе алгебры и теории чисел рассматривают линейные диофантовы уравнения первой степени от двух неизвестных x, y, общий вид которых таков: ax + by = c, где a, b, c - заданные целые числа. Известно, что такое диофантово уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда НОД(a, b) | c - наибольший общий делитель коэффициентов делит нацело правую часть. При выполнении этого условия линейное диофантово уравнение от двух переменных имеет бесконечное число решений.

Нахождение решений произвольных диофантовых уравнений - непростая задача. Более того, в 70-х годах XX в. было доказано, что она алгоритмически неразрешима, т.е. невозможно придумать алгоритм (программу для ЭВМ), который для произвольного заданного диофантова уравнения давал бы ответ на вопрос: “Есть у этого уравнения хотя бы одно решение ?”.

Тем удивительнее, что для некоторых классов диофантовых уравнений можно получить полное описание их решений. Классической задачей такого рода, обсуждаемой в “Арифметике” Диофанта, является задача о пифагоровых тройках, т.е. о нахождении всех решений диофантова уравнения x² + y² = z² , представляющего собой соотношение Пифагора для прямоугольного треугольника. Вначале найдём все его рациональные решения, а затем - и все целые решения.

1. Рациональные решения уравнения Пифагора. Во-первых, уравнение переписывается в виде , где отношения , рациональны, если рациональными были x, y. Эти отношения являются рациональными координатами точек на единичной окружности. Точки с рациональными координатами на окружности назовём рациональными. Если все рациональные точки M(u; v) окружности уже описаны, то u² + v² = 1 и = u, = v, т.е. x = zu, y = zv , где z Q . Таким образом, задача нахождения всех рациональных решений уравнения Пифагора свелась к описанию всех рациональных точек окружности.

Изложим общий метод нахождения всех рациональных точек окружности, применимый и для многих других кривых, заданных полиномиальными уравнениями.

Выберем на кривой рациональную точку, например точку S(0; -1) на окружности (рис. 1). Если M(u; v) - произвольная рациональная точка, то рациональным будет и .

Обратно, если t Q , то u = t(v + 1) и u² + v² = 1, т.е. t²(v + 1)² + v² = 1 или (t²+1)v²+2t²v+t²- 1= 0. Здесь дискриминант D = 4t⁴ - 4(t⁴ - 1) = 4 и . Если взять знак минус, то получим v = -1, u = t(v + 1) = 0, т.е. точку S(0; -1). Если же брать плюс, то Q .

Таким образом, доказано, что точка на окружности рациональна тогда и только тогда, когда она либо совпадает с S(0; -1), либо получается по формулам при некотором t Q .

Легко понять, что точка S(0; -1) не может быть получена по приведённым формулам ни при каком рациональном t. Можно видоизменить параметризацию, чтобы включить точку S в общие решения. Для этого запишем число t Q в несократимом виде , где m Z, n N , НОД(m, n) = 1. Тогда формулы перепишутся так: . Они определены при любых m, n Z и при n = 0 дают точку S(0;-1). Таким образом, доказана следующая теорема: