Оцінка для найкращих наближень деяких лінійних комбінацій аналітичних функцій

дипломная работа

§2. Короткий огляд результатів та історичні відомості. Постановка задачі

Майже у всіх галузях математики важливу роль відіграють задачі про апроксимацію (наближення) більш складніших обєктів менш складнішими. Теорія наближень має справу в основному з наближенням окремих функцій чи класів функцій за допомогою заданих підпросторів, що складаються із функцій, що є в деякому розумінні більш простими ніж ті, що апроксимуються.

Для періодичних функцій та їх класів найчастіше в ролі таких підпросторів вибирають множини тригонометричних поліномів заданого порядку п, або деякі підмножини цієї множини.

Найпростішим таким тригонометричним многочленом порядку п, що може відтворювати функцію , природно вибрати частинну суму порядку п ряду Фурє функції , її називають сумою Фурє функції і позначають:

.(1)

Якщо , то за величину похибки заміни сумою Фурє беруть норму їх різниці в просторі С, тобто величину

(2)

Поряд із сумами Фурє в якості наближуючиx агрегатів використовуються і інші тригонометричні многочлени. Це викликано тим, що в окремих випадках суми Фурє функції збігаються до неї дуже повільно, а то і взагалі розбіжні, навіть якщо наближаюча функція вибрана із простору С. Приклади неперервних функцій, ряди Фурє яких розходяться в окремих точках, були відомі ще Дюбуа?Реймонду (1876р.). Вказаний факт націлює знаходити способи побудови послідовностей таких наближаючи поліномів, які вже рівномірно збігаються до функції на всьому просторі С.

Зрозуміло, що найбільш вдалою в розумінні швидкості збіжності до є послідовність операторів , яка кожній функції ставить у відповідність її многочлен найкращого наближення , тобто многочлен, що задовольняє умову

(3)

в метриці простору .

Але, на жаль, оператори на всьому просторі (зокрема на С) не є лінійними. Це в значній мірі ускладнює їх побудову, дослідження, а отже, і використання.

Вибір сум Фурє в якості наближаючих поліномів часто є в деякому розумінні оптимальним або ж близьким до нього. Перші результати оцінок відхилень сум Фурє від заданих неперервних функцій були отримані ще в період становлення теорії наближення функцій. В 1909 р. А. Лебег довів, що

,(4)

де -- найкраще наближення функції тригонометричними поліномами степеня не вищого за в рівномірній метриці С, а -- константи Лебега:

.(5)

В поєднанні з теоремами Джексона про оцінки величин нерівність Лебега (4) містить велику кількість ранніх результатів по оцінках величин та не зменшує свого значення і в теперішній час: вона є точним по порядку та зручна в застосуваннях. Наприклад, якщо функція має похідну порядку r, обмежену, припустимо, одиницею, то (див., напр., [6, с. 102], і тоді з (4) отримаємо

.(6)

Нерівності Лебега (4) на всьому класі С неперервних функцій є точними по порядку. Більше того, в ньому константу зменшити неможливо,тобто у множині С нерівність (4) є асимптотично точною. В той же час існують важливі підмножини неперервних функцій, для яких співвідношення (4) виявляється неточним навіть по порядку.

Щодо просторів , то ще на початку ХХ століття було відомо, що при оператори, які відображають довільну функцію в її частинну суму Фурє є рівномірно обмеженими. Звідси випливає: ,

,(7)

де -- величина найкращого наближення функції тригонометричними многочленами в метриці простору .

В теорії наближення розглядають поведінку величин на деякій множині функцій . Позначимо . Знайти точне значення величини при кожному натуральному п надзвичайно складна задача, тому намагаються встановити асимптотичну поведінку цієї величини при . Початок розвязування задач більш глибокого дослідження величин відноситься до 30 ? 40-х років ХХ століття та повязане з іменами А. М. Колмогорова та С. М Нікольського. В 1935 р. А. М. Колмогоров [1] розглянув величину

,

і показав, що при

де а -- величина рівномірно обмежена по п. Потім Пінкевич [2] довів, що дана рівність залишиться в силі і у випадку класу , де і не обовязково ціле, тобто для класів функцій, диференційованих по Вейлю. Нікольський С. М. поширив дані результати на класи ?періодичних функцій, у яких існують і є неперервними похідні до r?го порядку включно, причому

і на більш загальні класи , які визначаються опуклими модулями неперервності . Зокрема С. М. Нікольський встановив, що для довільних чисел r та , , справедлива рівність

.

Окрім цього, він розвязав аналогічну задачу і для випадку, коли замість сум беруться суми Фейєра . Ці дослідження Колмогорова ?Нікольського поклали початок новому напрямку в теорії наближення функцій і підсумовування рядів Фурє. Результати цих досліджень поширювали на більш ширші класи функцій, а за агрегати наближення розглядалися тригонометричні поліноми , породжені різними методами підсумовування рядів Фурє.

Задача про відшукання асимптотичних рівностей для величин -- фіксований клас ?періодичних функцій із простору , стала однією з найбільш важливих в теорії наближень функцій та в теорії підсумовування рядів Фурє. Якщо в явному вигляді знайдена функція така, що при , то кажуть, що розвязана задача Колмогорова?Нікольського.

Після приведених вище робіт А. М. Колмогорова, С. М. Нікольського, В. Т. Пінкевича про асимптотичні рівності у відповідних задачах Колмогорова?Нікольського аналогічні результати для різних лінійних методів підсумовування рядів Фурє (методи Фурє, Фейєра, Фавара, Валле?Пуссена, Рісса, Чезаро, Зігмунда та ін.) та на різних функціональних класах отримали багато видатних математиків ХХ?сторіччя: О. I. Степанець, В. К. Дзядик, О. В. Єфімов, М. П. Корнєйчук, В. П. Моторний, Б. Надь. С. Б. Стєчкін, С. О. Теляковський та інші.

У 80 ? 90-х роках ХХ сторіччя О. І. Степанцем був розроблений новий підхід до класифікації періодичних функцій, що базувався на поняттях ?похідної та ?інтеграла, який дозволив здійснювати досить тонку класифікацію надзвичайно широких множин періодичних функцій. За відносно невеликий проміжок часу для запроваджених О. І. Степанцем та його учнями класів було отримано розвязки цілого ряду задач теорії наближення функцій, які до цього були відомі для класів Вейля?Надя. При цьому результати, які отримано для вказаних класів, з одного боку мають загальний характер, а з другого -- виявляють цілу низку нових ефектів, які у шкалах раніше відомих класів навіть поміченими не можуть бути.

Отже, дослідження асимптотичних властивостей на введених О. І. Степанцем класах періодичних функцій: найкращих наближень тригонометричними поліномами, наближень за допомогою лінійних методів підсумовування рядів Фурє, зокрема, сум Фурє та інші є важливими і актуальними.

Задача одночасного наближення періодичних функцій та їх похідних сумами Фурє у постановці, аналогічній до розглядуваної у дипломній роботі бере свій початок із статті [3]. В ній за величину, яка характеризує відхилення лінійної комбінації функцій із класу та їх похідних розглядається верхня межа функціонала

тобто величина

,

де -- довільний модуль неперервності.

Якщо функція належить класу , то її похідна порядку ri , буде знаходитись в класі . Тому із результатів роботи [4] для величини ми можемо отримати асимптотичну нерівність

,

де -- величина добре відома в науковій літературі (див., напр., [5]), а -- рівномірно обмежена по п величина. Така оцінка величини є, взагалі кажучи, неточною. В дійсності, як показав О. І Степанець,

де m0 -- кількість парних, а m1 --кількість непарних чисел в наборі , -- величина рівномірно обмежена по n.

Пізніше задачі наближення лінійної комбінації функцій та іх похідних лінійними методами підсумовування рядів Фурє розвязані були на класах Степанця. Ним самим та його учнями: Н. М. Сорич, В. А. Сорич, Н. М. Задерей, В. В. Дрозд, І. В. Соколенко.

Дана дипломна робота присвячена дослідженню швидкості наближення лінійної комбінації інтегралів Пуассона частковими сумами Фурє на класах ? диференційованих функцій, (?інтегралів) високої гладкості, і зокрема на класах інтегралів Пуассона.

Інтегралом Пуассона функції називають функцію , що задається рівністю

,

де -- ядро Пуассона вигляду

,

а -- вільний член ряду Фурє функції . Класи функцій і ,породжені ядрами Пуассона (тобто при , ) будемо позначати відповідно через і ,а відповідні ?похідні --а через і називати ?похідними.

Одиничні кулі в позначимо через . Величина -- найкраще наближення у просторі тригонометричними поліномами порядку не вищого за .

Нехай, нарешті,

,(8)

де -- лінійна комбінація ? похідних.

В дипломній роботі досліджується величина. Основні результати роботи отримано для класів , у випадку, коли послідовності належать до множини , тобто задовольняють умову . Основна ідея, на якій базуються результати дипломної полягає в тому, що величина для лінійної комбінації вигляду (8) при , та поводиться приблизно так саме, як і аналогічна лінійна комбінація ядер Пуассона. Це дозволяє, зокрема, задачі про отримання асимптотичних рівностей і зводити до аналогічних задач для величин і відповідно.

§ 3. Класи функцій

Нехай -- ?періодична, сумова функція із середнім значенням на періоді рівним нулю, тобто

і

(9)

-- ряд Фурє функції ,де

коефіцієнти ряду Фурє функції .

Якщо функцію можна раз неперервно диференціювати, то інтегруючи раз за частинами та враховуючи періодичність функції та її похідних, k?ту гармоніку ряду можна подати наступним чином

так що

(10)

Нехай далі, сумова функція є такою, що має абсолютно неперервні похідні до -го порядку включно, а знаходиться в просторі суттєво обмежених на осі функцій, норма в якому задається рівністю

Підставивши вираз (10) в співвідношення

і враховуючи, що ряд Фурє можна інтегрувати почленно, одержимо для інтегральний вигляд:

(11)

В такому випадку функцію називають згорткою функції та і позначають іноді , де ,(r=1,2,…) -- ядро Бернуллі.

Якщо , а функція записується у вигляді

де -- узагальнене ядро Бернуллі, то

називають згорткою функції та .

Якщо деяка функція подається через ряд Фурє у вигляді

то ?ю або ж похідною цієї функції називають функцію , для якої справедлива рівність

Функцію будемо називати, аналогічно як і вище, ядром Бернуллі, а похідну -- похідною функції у розумінні Вейля.

Якщо згортка функції f(x) має вигляд

то функцію називають ядром Бернуллі, а функцію називають ?похідною функції у розумінні Вейля-Надя і часто записують . При цьому, у випадку належності функції множині , де наприклад, -- множина ?періодичних суттєво обмежених функцій (t) з нормою що не перевищує одиниці, множину таких функцій називають класом Вейля?Надя і позначають .

Нехай далі -- довільна фіксована функція натурального аргументу k, а -- фіксоване дійсне число. Припустимо, що ряд

(12)

є рядом Фурє деякої сумовної функції. Цю функцію позначимо через і назвемо (ш,в -похідною функції. Тоді якщо

,

то

Тому з (9) одержимо

(13)

Множину функцій , що задовольняють такій умові, будемо позначати, користуючись роботою [3, гл. Й, §7], через .

Функцію називають згорткою -періодичних сумовних функцій i , якщо її можна подати у вигляді

що символічно записують так: . При цьому функцію називають ядром згортки.

Якщо ряд

(14)

на всьому періоді збігається і рядом Фурє деякої сумової функції , то функції з множини як показано в [3], можна майже скрізь подати у вигляді

(15)

тобто вони є згортками ядра з функціями . Останні у роботі [3] названі (ш,в)-похідними функцій .

Через C позначимо простір -періодичних функцій норма яких має вигляд

Через позначимо простір сумовних -періодичних функцій степеня р, норма яких подається у вигляді

Через -- простір - періодичних вимірних та суттєво обмежених функцій з нормою

Функція розглядається в дипломній роботі з простору або ж з простору ?періодичних сумовних на функцій з нормою

Через позначимо підпростір тригонометричних поліномів

де степеня не вище за .

Величину , де , або називають найкращим наближенням функцій f, а величину

-- найкращим наближенням класу тригонометричними поліномами степеня не вище за в метриці простору X.

Делись добром ;)