2.2 Асимптотичне рішення інтегралів

Приклад 1. Обчислити при х > 1.

Розкладемо в ряд [6]:

По теоремі (2.1.2)

, тобто .

Приклад 2. Обчислити при +0, , А(х) - східчаста функція: А(х) = 0 при х < 0, А(х) = А_k, k x < k + 1, А_k = а₁ + а₂ +…+а_k , а_k = k ^-1 . Причому .

Скористаємося асимптотичною формулою [4]

,

де - постійна Ейлера . Уведемо функцію A(х) = lnx + .

.

Останній інтеграл має порядок О( ln ) при +0, а передостанній - дорівнює -/2, так що

.

S() = I + J, де

.

Оцінимо інтеграл J. Нехай , тоді k 1

.

Ологарифмуємо , одержимо .

Значить

Отже,

.

Одержуємо, що

.