1.3 Векторна аксіоматика еклідової геометрії
У математиці та її застосуваннях широко використовується поняття векторного простору. У 1918 р. німецький математик Герман Вейль запропонував схему побудови евклідової геометрії на векторній основі.[1,c 102]
За вихідні поняття геометрії в аксіоматиці Г. Вейля приймаються: “вектор”, “точка”, “сума векторів”, “добуток вектора на дійсне число”, “скалярний добуток векторів”, “відкладання вектора від точки”.
Значна роль векторних просторів у багатьох застосуваннях математики і простота використання координатного методу у векторних просторах довільного числа вимірів сприяють використанню аксіоматики Г. Вейля у викладанні геометрії.
Наведемо один з варіантів векторної аксіоматики.
І. Аксіоми додавання векторів.
Основне відношення: кожним двом векторам а і b відповідає один певний вектор, що називається їх сумою і позначається а + b.
І1. Для будь-яких двох векторів а і b
а + b = b + а
І2. Для будь-яких трьох векторів а, b і c
(a + b) +c = a + (b + c)
I3. Існує такий вектор 0, що для довільного вектора а:
а + 0 + а (вектор 0 називається нульовим вектором).
I4. Для будь-якого вектора а існує такий вектор а, що а + а = 0 (вектор а називається протилежним до вектора а і позначається через -а).
II. Аксіоми множення вектора на число.
Основне відношення: кожному вектору а і кожному дійсному числу k відповідає один певний вектор, що називається добутком вектора а на число k i позначається - через ka.
ІІ1. 1а = а для будь-якого вектора а.
ІІ2. k(lа) = (kl)а для довільного вектора а і будь-яких дійсних чисел k і l.
II3. (к + l)а = kа + lа для будь-якого вектора а і до вільних дійсних чисел k i l.
ІІ4. к(а + b) = ka + kb для довільних векторів а і b і будь-якого дійсного числа k.
З перших двох груп аксіом випливає, що добуток будь-якого вектора на число 0 і добуток нульового вектора на довільне число є нульовий вектор.
IIІ. Аксіоми розмірності.
Означення. Вектори а1, а2, … , аn називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа k1, k2, …, kn з яких принаймні одне не дорівнює нулеві, що
k1a1 + k2a2 + …+ knan = 0
Якщо вектори не є лінійно залежними, то вони називаються лінійно незалежними.
III1. Існує n лінійно незалежних векторів.
III2. Будь-які n + 1 векторів лінійно залежні.
IV. Аксіоми відкладання вектора.
Основне відношення: кожній парі точок А і В відповідає один певний вектор, що позначається через АВ.
IV1. Для довільної, точки А і будь-якого вектора а існує така єдина точка В, що АВ = а (у цьому разі говорять, що точку В дістали в результаті відкладання вектора а від точки А).
IV2. АВ + ВС = АС для будь-яких трьох точок А, В, С.
З аксіом І-IV випливає, що АА = 0 і що АВ = -ВА.
V. Метричні аксіоми.
Основне відношення: кожним двом векторам а і b відповідає одне певне дійсне число, яке називається їх скалярним добутком і позначається через аb.
V1. аb = bа для будь-яких векторів а і b.
V2. (а + b)с = ac + bc для будь-яких векторів а, b, с.
V3. (kа) b = k (аb) для будь-яких векторів а, b і довільного дійсного числа k.
V4. аа > 0 для будь-якого вектора а.
Число аа називається скалярним квадратом вектора а і позначається також через а2. Число позначається через |а| і називається довжиною вектора а.
V5. a = 0 тільки в тому випадку, коли а = 0.
Тепер розглянемо деяке представлення евклідової геометрії в просторі Еn. Простір Еn володіє усіма властивостями простору Аn, тому вся теорія простору Аn відноситься і до простору Еn. Але Еn володіє рядом так званих метричних властивостей, які слідують з аксіом скалярного множення векторів. Для вивчення цих властивостей частіше всього використовують прямокутну систему координат. Система координат {О,,,….,} в Еn називається прямокутною-декартовой (або просто прямокутною), якщо базис ,,…., ортонормований.[6, c.262]
Відстанню (А,В) між точками А і В називається довжина вектора :
(А,В) = || (1)
Виведемо формулу для знаходження відстанні між точками, заданими своїми координатами.
Теорема1. Для будь-яких точок А, В і С простору Еn
(А,С) (А,В) + (В,С). (2)
. За аксіомою трикутника = + , тому = + 2 + . Звідси слідує:
|| = || + 2 + || (3)
Отже ||||. Таким чином || = || + 2 + || або ||(|| + ||). Звідси спираючись на рівність (1), отримуємо рівність (2).
Довжиною відрізка називається відстань між його кінцями. Так як довжина будь-якого ненульового вектора більша за нуль, з формули (1) слідує, що довжина будь-якого відрізка виражається додатнім числом. Два відрізки називаються рівними, якщо їх довжини рівні.
Теорема2. Якщо А, В і С три точки простору Еn, то рівність АВ+ВС=АС має місце тоді і тільки тоді, коли точка В лежить між точками А і С.
. Нехай точка В лежить між точками А і С, тобто =t, де t>0. =||||, тому з рівністі (3) маємо: || = || + 2 + ||, або || = (|| + ||), || = || + ||, тобто АВ+ВС=АС.
Навпаки, нехай АВ+ВС=АС. Тоді = + 2 + , або || = || + 2|||| + ||. Порівнюючи цю рівність з рівністю (3), ми приходимо до висновку , що =||||. Якщо t>, то =t, таким чином точка В лежить між точками А і С.
Наслідок1. Якщо точки А, В і С не лежать на одній прямій, то АВ+ВС>АС.
Наслідок2. Фігура, яка складається з точки О і двох променів ОА і ОВ, які виходять з цієї точки, називається кутом і позначається так: АОВ або О. нехай і - орти векторів , тобто =, =. Кут між векторами і називається мірою кута АОВ.
Отже можемо записати, що міра кута АОВ знаходиться за формулою:
cos= (6)
Кут АОВ називається прямим, якщо його міра кута рівна . З формули (6) слідує, що АОВ прямий тоді і тільки тоді, коли =0.