Порівняльна характеристика різних аксіоматик евклідової геометрії

курсовая работа

РОЗДІЛ 2. Порівняльна характеристика різник аксіоматик евклідової геометрії

2.1 Характеристика - Гільберт - Погорєлов

Перше, що потрібно сказати, це те, що аксіоми порядку Гільберта повністю еквівалентні аксіомам Погорєлова, що грунтуються на відношенні слідування для пар точок, а аксіоми конгруентності - аксіомам руху.

Тепер порівняємо вихідні поняття у Гільберта та Погорєлова.

По-перше вони розглядають для вихідних понять такі множини як: множину точок (елементи першого роду), прямих (елементи другого роду) та множину площин (елементи третього роду).

Також бачимо схожість і у виборі основних понять. Адже Гільберт розглядає властивості відношення “належати”, яке може повязувати точки, прямі і площини, а токож розглядає те, що точка може бути у відношенні “лежати між” двома іншими точками цієї самої прямої. А Погорєлов вибрав такі основні поняття як “належність точки і прямої” та “розташування точки між трьох точок однієї прямої”.

Всі девять аксіом системи ?р, можуть бути доведенні в теорії Г(?w) як теореми. Наведемо декілька цих доведень.[3,c.302]

IV. Нехай АВС - трикутник, h - промінь, який виходить з точки А , а ? - півплощина, межею якої є промінь h. Розглянемо два флага (А, , ) і (А1, h, ?), де - промінь АВ, а - півплощина з межею АВ, яка містить точку С. Ми знаємо, що теорема про задання руху за допомогою двох флагів має місце в теорії Г(?w), тому існує рух f , який переводить флаг (А, , ) у флаг (А1, h, ?). Якщо В1 = f(В) і С1= f(С), то ?А1В1С1 шуканий, так як В1 h, С1 і ?АВС= ?А1В1С1.

V. Нехай PQ - вибраний одиничний відрізок, а d - будь-яке дійсне число. Розглянемо білінійну форму q(x,y), яка відповідає відрізку PQ. Якщо А будь-яка точка площини, то існує точка В, така, що =, де (аксіома І системи ?w).Тоді ||====d.?

2.2 Характеристика - Гільберт - Вейль

евклідовий геометрія векторний аксіома

Порівнюючи такі дві аксіоматики як: аксіоматика за Д.Гільбертом та аксіоматика Вейля, можна сказати, що оскільки перша - побудована в просторі, то тут за вихідні поняття беруться такі як “належати”, “лежати між” та “конгруентні”, хоч щоб побудувати цей простір, звичайно Гільберт використовує поняття точки, прямої та площини. А Вейль запропонував схему побудови евклідової геометрії на векторній основі, тож у нього за вихідні поняття приймаються: “вектор”, “точка”, “сума векторів”, “добуток вектора на дійсне число”, “скалярний добуток векторів”, “відкладання вектора від точки”.

Перші три групи аксіом Вейля означають поняття n-вимірного векторного(або лінійного) простору Vn. Коли n=2 або n=3, дістаємо, відповідно, двовимірний оба тривимірний векторний простір. Тоді структура Е3 визначається лише трьома аксіомами Вейля 1-3. Позначимо цю систему через ?w. [5,c.288]

Тепер впевнимось в тому, що деякі аксіоми групи І Гільберта можуть бути доведені в теорії Г(?w) як теореми.

Виконання аксіом І1-І10 очевидно. Дійсно, нехай {О} система координат простору Е3. З першої аксіоми Вейля існують точки А, В і С, такі що, =, =,=. Зрозуміло, що точки не лежать на одній прямій, а точки О, А, В і С не лежать в одній площині.

І. Через будь-які дві точки А і В проходить одна і тільки одна пряма (аксіоми І1 і І2).

? Дійсно пряма d, яка проходить через точку А і паралельна вектору і проходить через точку В.

Якщо припустити, що через точки А і В проходить ще одна пряма d з направляючим підпростором L1, то АВL1. Звідси слідує, що направляючі підпростори прямих d і d співпадають, а отже співпадають і самі прямі d і d.?

ІІІ. Якщо дві точки А і В прямої d лежать в площині ? , то будь-яка точка прямої d лежить в площині ? (аксіома І7).

?. Нехай (А, L1 ) - пряма d, а (А, L2) - площина ?. Так як Вd, то L1, тому L1 - підпростір, натягнутий на вектор . По умові ВL1 - отже L2. Таким чином L1 L2, якщо М довільна точка прямої d, то L1, отже L2, тобто М?.?

ІV. Якщо дві площини ? і ? мають спільну точку А, то вони мають спільну пряму, якій належать всі спільні точки площини ? і ?.

?. Нехай (А, L) - площина ?, а (А, L) - площина ?. Підпростір L і L не співпадають і належать векторному простору V, тому LL = W, де W - одновимірний векторний підпростір. Так як WL і WL, то всі точки прямої d = (A, W) лежать в площинах ? і ?. Розглянемо тепер довільну точку М, яка належить площинам ? і ?. Очевидно, L і L, отже W. Звідси слідує, що Мd. ?

Із властивості ІV випливає, що в теорії Г(?w) має місце аксіома І7 Гільберта.

Також можна взяти одну з теорем, представлену Вейлем і також довести, що між цими двома аксіоматиками можна провести деякі паралелі.

Теорема. Через дану точку А, яка не належить даній прямій d, проходить одна і тільки одна пряма, паралельна прямій d.

?. Нехай L - направляючий простір прямої d. Використавши теорему, про те що, дві різні прямі паралельні тоді і тільки тоді, коли вони мють спільний направляючий простір, можемо сказати, що пряма (А, L), яка проходить через точку А, паралельна прямій d. Доведемо, що (А, L) - єдина пряма, яка задовольняє цю умову. Дійсно, нехай (А, L) - будь-яка пряма, яка проходить через точку А і паралельна прямій d. За теоремою, яку ми тільки що уже використовували, підпростори L і L співпадають, тому прямі (А, L) і (А, L) також співпадають.?

Наслідок. В теорії Г(?w) має місце аксіома паралельності (аксіома паралельних Гільберта).

В наш час, коли теорія векторних просторів проникла у всі розділи математики, виявляється зручним при визначенні структури евклідового простору вважати структуру векторного простору уже відомою. Тоді аксіоматику Вейля можна прийняти в такій формі, в якій вона подана в цій роботі і використовувати при доведенні різних теорем.

Делись добром ;)