2.3 Асимптотичне обчислення суми ряду

При знаходженні суми ряду нерідко використовується формула підсумовування Ейлера [2]:

де

В_k - числа Бернуллі, В_m({x}) - багаточлен Бернуллі.

В_k = (-1)^k _2k. [6]

. Коефіцієнти _k обчислюються, використовуючи теорему О одиничність розкладання функції в статечної ряд:

шляхом дорівнюючи коефіцієнтів:

коефіцієнт при х: ₀ = 1,

коефіцієнт при х^k:

Приклад 1. Знайти .

По 1.2.10 Н_k = ln k + O(1). Тоді

.

Застосуємо формулу підсумовування Ейлера:

.

Приклад 2. Знайти

Застосуємо формулу підсумовування Ейлера:

Приклад 3. Знайти асимптотику при n суми

Члени цієї суми швидко ростуть із ростом номера, так що головний член асимптотики дорівнює останньому члену суми: S(n) ~ n!, n . Дійсно,

Отже,