3. Системи парна-непара

Розглянемо систему

(8)

Будемо вважати, що всюди надалі ця система задовольняє умовам:

а) Функція безупинно диференцюєма, і тому, задача Коші для системи (8) має єдине рішення;

б) Права частина системи (8) -періодична по .

Лема 8 Нехай система (8) задовольняє умовам а) і б). Тоді продовжині на відрізок рішення цієї системи буде -періодичним тоді й тільки тоді, коли

- є непарна частина рішення .

Доказ. Нехай - -періодичне рішення системи (8). Тоді

Необхідність доведена.

Нехай - рішення системи (8), для якого . Тоді

і тому

Таким чином, крапка є нерухлива крапка відображення за період, а рішення - -періодичне.

Доведена лема, питання про періодичність рішення

зводить до обчислення одного зі значень непарної частини . Іноді відносно можна сказати більше, ніж про саме рішення . Це дозволяє в таких випадках робити різні висновки щодо існування періодичних рішень у систем виду (8). Диференцуємі функції

задовольняють деякій системі диференціальних рівнянь. Перш, ніж виписати цю систему, помітимо:

(9)

тому що

рішення системи (8). Заміняючи в тотожності (9) на й з огляду на, що похідна парної функції - функція непарна, а похідна непарної функції - функція парна, одержуємо тотожність

(10)

З тотожностей (9) і (10) знайдемо похідні:

У такий спосіб вектор-функція

(11)

задовольняє наступній системі диференціальних рівнянь порядку :

(12)

Систему (12) будемо називати системою пар-непара, що відповідає системі (8). рішення системи чіт-непара, як треба з умови а), однозначно визначається своїми початковими умовами.