Предельные теоремы теории вероятности

курсовая работа

1.2.1 Основные задачи математической статистики и их краткая характеристика

Термин статистика происходит от латинского слова «статус» - состояние. Первоначально, в XVIII веке, когда статистика начала оформляться в научную дисциплину, термин статистика связывался с системой описания фактов, характеризующих состояние государства. В настоящее время статистика включает в себя и большее и в то же время более определенное содержание. А именно, статистика состоит из следующих трех разделов:

1. Сбор статистических сведений, т.е. сведений, характеризующих отдельные единицы каких-либо массовых совокупностей;

2. Статистическое исследование полученных данных, заключающееся в выяснении тех закономерностей, которые могут быть установлены на основе данных массового наблюдения;

3. Разработка приемов статистического наблюдения и анализа статистических данных. Последний раздел и составляет содержание математической статистики.

Современная математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования ( планирование эксперимента), в ходе исследования ( последовательный анализ) и решает многие другие задачи. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.

Итак, задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

Исходным материалом для статистического исследования реального явления служит набор результатов наблюдений над ним или же результатов специально поставленных испытаний. Основные задачи, возникающие при этом:

1. Оценка значения неизвестной вероятности случайно события.

2. Определение неизвестной функции распределения. Задача ставится так: в результате n независимых испытаний над случайной величиной о получены следующие значения: . Требуется определить неизвестную функцию распределения F(x) величины о.

2. Определение неизвестных параметров распределения. Часто общетеоретические соображения позволяют сделать достаточно определенные заключения о типе функции распределения и интересующей нас случайной величины. Общая задача ставится так: случайная величина о имеет функцию распределения определенного вида, зависящую от k параметров, значения которых неизвестны. На основании последовательных наблюдений величины о нужно найти значения этих параметров.

Очевидно, что определение неизвестной вероятности p события А является частным случаем только что сформулированной задачи, так как можно рассматривать случайную величину о, принимающую значение 1, если событие А появляется, и значение 0, если событие А не появляется. Функция распределения о зависит от единственного параметра p. Более точно эту задачу можно поставить так: в результате n независимых испытаний величина о приняла следующие значения:. Требуется указать функции =a( и =которые было бы рационально принять за приближенные значения оцениваемых величин a и . Помимо этого необходимо также оценить среднюю точность этих приближенных формул.

Иногда предпочтительнее искать не приближенные значения неизвестных параметров a и в виде функций и , а такие функции a,a( от результатов испытаний и известных величин, чтобы с достаточной практической надежностью можно было утверждать, что a<a<a и, соответсвенно, . Функции a,a ( называются доверительными границами для а(.

4.Проверка статистических гипотез. На основании некоторых соображений можно считать, что функция распределения случайной величины о есть F(x) и необходимо определить совместимы ли наблюденные значения с гипотезой, что о на самом деле имеет распределение F(x).

Таким образом, если вид функции распределения не вызывает сомнений и в проверке нуждаются только значения некоторых параметров, характеризующих это распределение, то в задаче необходимо узнать, не опровергают ли результаты наблюдений ту гипотезу, что параметры распределения имеют предположенные значения. Это - задача проверки простой гипотезы. Если проверяемая гипотеза состоит в том, что параметры принимают не точно определенные значения, а какие-то из некоторых определенных множеств, то гипотеза называется сложной.

Задачу также можно сформулировать так: Имеются две последовательности независимых наблюдений над случайной величиной о с функцией распределения и над случайной величиной с функцией распределения . Функции распределения и неизвестны; требуется оценить правдоподобность гипотезы .

5. Оценка зависимости. Производится последовательность наблюдений сразу двух случайных величин о и з. Результаты наблюдений даны следующими парами значений : Необходимо выяснить наличие функциональной или корреляционной связи между о и з.

6. Управление процессами. Пусть имеется случайный процесс от дискретного или непрерывного времени. Процесс под влиянием тех или иных причин может нарушить свое нормальное протекание и привести к иным, например . Это нарушение нормального течения может привести к нежелательным последствиям и нам нужно своевременно заметить момент «разладки» и оказать управляющее воздействие с целью восстановления нормального хода процесса.

Однако перечисленными задачами далеко не исчерпываются основные проблемы статистики.

Делись добром ;)