Введение

Существуют весьма разнообразные подходы к исследованию плоских кривых. Исследования, проводимые с общей, абстрактной точки зрения, как правило, тем или иным образом отвечают на вопрос что такое линия. К исследованиям первого типа относится, например, определение плоской линии по Г. Кантору или К. Жордану, определение кривых как одномерных континуумов и т.п. С другой стороны, разнообразие конкретных плоских кривых позволяет изучать их типы по отдельности или во взаимосвязи между собой. Весьма многочисленны и исследования второго типа. К ним, например, относятся различные классификации алгебраических кривых, кривых циклоидального типа, спиралей, трактрис и т.д.

Настоящая дипломная работа относится к работе второго типа. Ее основной целью является нахождение взаимосвязей между алгебраическими кривыми второго порядка и третьего порядка. В общих чертах, основной вопрос можно сформулировать так: «При каких геометрических преобразованиях плоскости кривые второго порядка переходят в кривые третьего порядка, какими могут быть эти кривые и т.п.?». Так как линейные невырожденные преобразования плоскости, очевидно, сохраняют порядок алгебраической кривой, то тем самым в настоящей работе речь пойдет о нелинейных преобразованиях плоскости.

Работа состоит из двух глав. Параграфы §1.1. и §1.2. первой главы посвящены двум кратким обзорам: общему историческому развитию понятия кривой и общим сведениям о кривых второго и третьего порядка. Классификации кривых второго порядка хорошо известны из любого полного курса аналитической геометрии. Хорошо известно, что различных типов кривых второго порядка весьма немного. Наиболее распространена их классификация по инвариантам, которую мы и приводим во втором параграфе первой главы.

А вот первая полная классификация кривых третьего порядка была выполнена Ньютоном, который и положил тем самым начало систематическому исследованию этих кривых. И.Ньютон в своей классификации делит все кривые третьего порядка на 7 классов, которые содержат в себе несколько десятков типов кривых. В основу его классификации положен принцип подразделение их на группы в зависимости от количества и характера бесконечных ветвей.

В третьем параграфе этой же главы представлены основные сведения об одной замечательной кривой третьего порядка - циссоиде Диоклеса, возникшей в связи с попытками решения знаменитой задачи об удвоении куба.

Вторая глава посвящена собственно преобразованиям плоскости, переводящим кривые второго порядка в кривые третьего (или четвертого) порядка. В данной работе рассмотрены три преобразования, которые могут повышать порядок кривых:

1. переход к подэре: (кратко, - преобразование);

2. циссоидальное преобразование: (кратко, - преобразование);

3. преобразование Маклорена: (кратко, - преобразование).

Вторая глава начинается с параграфа, посвященного описанию геометрического преобразования параболы в циссоиду. Оказывается, что циссоида является подэрой параболы относительно ее вершины. Более точно: если в каждой точке параболы провести к ней касательную и затем из вершины параболы опустить перпендикуляр на касательную, то геометрическое место всех полученных оснований перпендикуляров будет циссоидой. Здесь же рассматриваются подэры параболы относительно других точек плоскости.

Вообще говоря, подэры можно рассматривать для любых гладких кривых относительно произвольных точек. В следующем параграфе рассмотрены подэры других кривых второго порядка относительно произвольных точек плоскости и доказана теорема о том, что подэрой любой кривой второго порядка является кривая либо третьего, либо четвертого порядка (см. с. 45). Доказательство этой теоремы состоит в переборе всех кривых второго порядка и явном получении уравнений соответствующих подэр. В каждом из случаев из системы трех уравнений с четырьмя неизвестными находится соотношение между двумя из этих переменных.

Два оставшихся параграфа главы соответственно связаны с другими преобразованиями: циссоидальным преобразованием и преобразованием Маклорена.

Обобщенное циссоидальное преобразование задается точкой и не проходящей через нее кривой. В том случае, когда в качестве кривой выбирается прямая, получается классическое циссоидальное преобразование. Основной результат здесь составляет теорема о том, что всякое циссоидальное преобразование относительно прямой и не лежащей на ней точке переводит произвольную кривую второго порядка в кривую третьего порядка (см. c. 52).

Для - преобразования приводится полное доказательство двух конкретных фактов о том, что декартов лист и строфоида могут быть получены из окружности с помощью некоторого - преобразования.

Тем самым, основной целью работы является детальное изучение трех типов преобразования плоскости: - преобразование (переход к подэре); - преобразование (циссоидальное преобразование); - преобразование (преобразование Маклорена). Оказывается, что эти преобразования тесно связаны между собой и устанавливают весьма интересные свойства замечательных кривых третьего порядка: Декартова листа, строфоиды, циссоиды и других.