Преобразования, повышающие порядок плоских алгебраических кривых

дипломная работа

1.1 История развития понятия кривой

Формирование строгого понятия кривой или линии имеет исключительно долгую историю: от чисто описательных интуитивных определений (пример: «длина без ширины» - у Евклида) или от конкретных кривых, как геометрическое место точек, до общих понятий, которые описывают кривые, как множества точек плоскости, удовлетворяющих некоторому условию. Сведения о кривых накапливались от конкретных кривых (окружности) и используя законы формирования абстрактного понятия: от частного - к общему, от конкретного - к абстрактному. Исторические памятники глубокой древности показывают, что у всех народов на известной степени их развития имелось понятие окружности, не говоря уже о прямой линии. Употреблялись примитивные инструменты для построения этих линий, и были попытки измерять площади, ограничиваемые прямыми и окружностью.

Линия являлась одним из основных объектов математических исследований. Причина этого лежит, прежде всего, в том, что понятие линии возникло из практической деятельности человека, связанной с изготовлением чертежей, определением границ земельных участков, изучением траекторий движения тел (брошенного камня, струи воды, луча света). Возникнув из практики, понятие линии находит в свою очередь широкое применение для математического описания явлений природы и производственно-технических процессов.

Вот почему с древних времен до наших дней понятие линии привлекало к себе внимание математиков. Ученые стремились исследовать, что такое линия как математическое понятие, т. е. выяснить, что же общего есть у всех тех вещей, которые на практике мы называем линиями?

Евклид в своих «Началах» определяет линию как длину без ширины или как границу поверхности. Такие определения не могут служить для математического изучения понятия линии, так как определяются через другие понятия, которые сами, в свою очередь, нуждаются в определении. Для математического же изучения какого-либо объекта надо задать его аксиоматически, т. е. указать ряд свойств этого объекта, из которых можно было бы логически выводить другие его свойства.

При тогдашнем уровне развития науки и характере требований, предъявляемых к ней практикой, Евклид не мог в сколько-нибудь общей мере сформулировать определение понятия линии, и в «Началах» он останавливает свое внимание на изучении двух простейших и наиболее употребительных линий: прямой и окружности .

Правда еще задолго до Евклида была известна такая кривая, как квадратриса Динострата, а сто лет спустя Аполлоний подробно разработал теорию конических сечений: эллипса, гиперболы, параболы, -- линий, получающихся в сечении плоскостью боковой поверхности конуса с круговым основанием. Механика также приводила к необходимости изучения кривых (спираль Архимеда). Однако все это были лишь отдельные разрозненные факты и не существовало ни сколько-нибудь общего определения линий, ни методов их изучения.

В эпоху средневековья великие достижения греческих ученых были забыты. К кривым математическая наука обратилась только в 17 веке, в связи с созданием аналитической геометрии.

Решительный шаг в развитии понятия кривой принадлежит Декарту (1596--1650). Бурный рост торговли и промышленности способствовал быстрому развитию техники, что, в свою очередь, привело к динамичному развитию естествознания и особенно механики. Это развитие нуждалось в математическом аппарате, который был необходим механике для точного выражения ее законов, огромная роль в развитии которого и принадлежит Декарту.

1637 год - одна из великих дат в истории математики - год появления книги Р. Декарта «Геометрия», в которой были изложены основы метода координат. Его координатный метод впервые позволил определить понятие линии в очень общей для того времени форме.

Выбрав на плоскости систему координат, мы можем поставить в соответствие каждой точке плоскости пару действительных чисел -- координат этой точки. При этом оказывается, что разным точкам соответствуют разные пары чисел, и что каждой паре чисел соответствует вполне определенная точка плоскости, имеющая эти числа своими координатами. Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством точек плоскости и множеством пар действительных чисел. Это соответствие позволяет для каждой линии составить ее уравнение, т. е. найти такую зависимость между координатами ее точек, которая справедлива для всех точек этой линии и не имеет места ни для каких других точек. Например, окружность с центром в начале координат и радиусом r имеет уравнение , биссектриса угла между осями координат имеет уравнение , и т. д.

Возможность составить для каждой линии ее уравнение дает очень общий и сильный метод изучения уже известных линий.

Пусть дано одно уравнение с двумя неизвестными в виде F(x, у)=0, обозначим через F(x, у) выражение (функцию), стоящее в левой части уравнения. Предположим, что это уравнение имеет бесконечное множество действительных решений, т. е. что существует бесконечное множество пар действительных чисел х и у, удовлетворяющих этому уравнению. Будем рассматривать числа х и у как координаты точки относительно некоторой системы координат на плоскости и назовем линией, заданной уравнением F(x, y)=0, множество всех тех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Теперь стало возможным дать общее определение линий, охватывающее все известные до сих пор частные примеры линий, и позволяющее построить столько же линий, сколько имеется различных уравнений. Определение Декарта: линией, заданной уравнением F(x, у)=0, называется множество точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Открытие Декарта имело решающее значение для всей математики, потому что, с одной стороны, оно позволило изучать геометрические объекты методами алгебры и анализа, а с другой стороны, -- позволило применить терминологию и методы геометрии к алгебре и анализу, что сообщило изучению этих дисциплин большую простоту и наглядность. Открытие метода координат подготовило, в свою очередь, открытие могущественного метода науки - исчисления бесконечно малых. Рождение дифференциального и интегрального исчисления имело особо важное значение для изучения свойств кривых. Метод координат в соединении с анализом позволил от частных способов и оригинальных приемов или гениальных догадок при исследовании кривых перейти к их исследованию общим методом.

Определение линии, данное Декартом, является для того времени чрезвычайно общим. Оно охватывает все так называемые алгебраические кривые -- линии, уравнения которых являются алгебраическими, т. е. имеют вид F(x,y)=0, где F(x,y) -- многочлен с двумя переменными х и у. Степень многочлена F(x, у) называется порядком алгебраической линии.

Алгебраические линии первого порядка суть прямые, поскольку всякая прямая на плоскости выражается в декартовых координатах уравнением первой степени вида Ах+By+С=0 и всякое такое уравнение всегда выражает прямую. Алгебраические линии второго порядка -- это эллипс, гипербола, парабола (и еще линии, распадающиеся на две прямые), так как всякая такая линия выражается уравнением второй степени и всякое уравнение второй степени, если оно допускает бесконечное множество решений, всегда выражает одну из этих линий. Эти факты составляют содержание аналитической геометрии и в основном были уже известны Декарту. Изучение кривых более высокого порядка составляет предмет алгебраической геометрии .

Однако уже в то время были известны кривые, которые или вовсе нельзя было задать уравнением вида F(x,у)=0, где функция F(x,y) была бы достаточно простой, т. е. представляла собой комбинацию конечного числа элементарных функций, или же такое задание, хотя и было возможно, но ничего не могло дать для изучения линии. Это прежде всего кривые, являющиеся траекториями движущейся точки. Такова спираль Архимеда -- линия, описываемая точкой, равномерно перемещающейся по лучу, который, в свою очередь, вращается с постоянной угловой скоростью около неподвижной точки. Уравнение спирали Архимеда ничего не дает для ее изучения, так как каждому значению х здесь соответствует бесконечное множество значений у и наоборот.

Роберваль и Паскаль показывают, что дуга спирали Архимеда равна дуге параболы, выбранной определенным образом, и что, следовательно, задача спрямления спирали идентична задаче спрямления параболы. Ферма обобщает это предложение на спирали высших порядков, устанавливая, что их спрямление сводится к спрямлению парабол высших порядков. Нейль открывает алгебраическую кривую, которая спрямляется алгебраически (парабола Нейля). К этому же времени относится спрямление логарифмической спирали, выполненное Торричелли, спрямление эпи- и гипоциклоид, выполненное Де ла Гиром. Фаньано в 1714 году, исследуя вопрос о спрямлении лемнискаты, заложил основы спрямления эллиптических функций .

Для изучения линий, являющихся траекториями движущейся точки, наиболее естественным оказывается задание координат точки в зависимости от времени. Это приводит к так называемому параметрическому заданию линий, при котором координаты ее точек выражаются как функции некоторой третьей переменной величины t (обычно времени), называемой параметром: .

Задание линии параметрическими уравнениями вполне отвечало всем требованием, предъявляемым к этому понятию: все известные линии, как алгебраические, так и трансцендентные, могли быть заданы в такой форме, которая наилучшим образом соответствовала основному способу получения линии как траектории движущейся точки.

Определение линии как траектории движущейся точки и параметрический способ задания уже известных линий послужили основой для нового обобщения определения понятия линии: линией стали называть совокупность точек плоскости, координаты которых х и у даны как функции некоторой третьей переменной величины t, которая обычно понималась как время, но могла иметь и другой характер: угол, длина дуги и т. п.

При этом на функции и налагались, конечно, некоторые ограничения, которые становились тем более общими, чем более общим делалось само понятие функции. Таким путем, отталкиваясь от частных примеров, пришли во второй половине XIX века к следующему общему определению линии, сформулированному в наиболее отчетливой форме французским математиком Жорданом: линией называется совокупность точек плоскости, координаты которых суть непрерывные функции , параметра t, заданные на отрезке 0 t 1.

Но вскоре оказалось, что жорданово определение линии является уже чересчур общим: в 1890 г. итальянский математик Пеано показал, что можно так подобрать функции и , заданные на отрезке 0t1 и непрерывные на этом отрезке, что совокупность точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям: x = (t), (0t1),--заполняет целый квадрат (считая внутренние и граничные точки), т. е. какую бы точку т(х, у) на этом квадрате мы ни взяли, всегда найдется такое значение параметра t (0t1), что x = (t), .

Этот пример целиком ниспровергает определение линии, данное Жорданом, если взять это определение во всей его общности: множество точек, являющееся «линией» в смысле этого определения, заполняет целый кусок плоскости, что никак не согласуется с нашим представлением о линии, сформировавшимся на базе рассмотрения ряда конкретных линий, которые никогда не заполняют целого куска плоскости.

Попытки определения понятия линии лишь в недавнее время нашли свое завершение в работах советского математика П.С. Урысона (1898--1924), который в 20-х годах прошлого столетия сумел дать наиболее общее определение линии, позволяющее до конца исследовать сущность этого понятия: Линией называется континуум размерности 1, т.е. такой континуум, что каждая его точка обладает сколь угодно малой окрестностью, граница которой не содержит никакого континуума, состоящего более чем из одной точки .

Увлечение аналитическим методом изучения кривых, особенно характерное для 17 века, с течением времени вызвало реакцию со, стороны некоторых ученых. Как недостаток этого метода отмечалось то обстоятельство, что употребление его не раскрывает естественного происхождения кривой, так как объектом исследования фактически является не сама кривая, а соответствующее ей уравнение. Плодотворные попытки возвратиться к синтетическому методу древних породили новое направление в исследовании свойств кривых 2-го порядка. Первые достижения здесь связываются с именами Дезарга и Паскаля. Дезарг, исследуя проективные свойства фигур и используя установленное им понятие инволюции, обогатил теорию кривых 2-го порядка новыми открытиями. Паскаль открывает свою, знаменитую теорему о соотношении между шестью точками конического сечения, согласно которой во всяком шестиугольнике, вписанном в кривую 2-го порядка, точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой. Де ла Гир приходит к важному предположению о том, что директриса кривой 2-го порядка является полярой ее фокуса.

Новые методы исследования свойств кривых 2-го порядка успешно развиваются в 19 столетии. Брианшон доказывает теорему, двойственную теореме Паскаля, и изучает проективные свойства гиперболы. Понселе исследует кривые 2-го порядка с помощью открытого им метода проективных соответствий. Штейнер и Шаль исследуют проективные свойства этих кривых на основе понятия двойного отношения и рассматривают их как производные от образов 1-ой ступени. Критика аналитического метода исследования формы и свойств кривых была также направлена на то обстоятельство, что система координат является посторонним элементом исследования, с которым кривая связывается искусственно.

Эти воззрения привели, с одной стороны, к созданию так называемой алгебраической геометрии, основы которой были заложены Гессе и Клебшем. Здесь исследование свойств кривых сводилось, к исследованию инвариантов алгебраических форм. Эти инварианты представляли собой некоторые величины, характеризующие форму кривой и не меняющиеся при изменении координатной системы. Крупнейшим достижением этого направления в исследовании кривых было создание обшей теории алгебраических кривых. Особые достижения в развитии этой теории связываются с именем Плюккера. Однако в алгебраической геометрии полностью отрешиться от системы координат как постороннего элемента все-таки не удалось .

Другое направление привело к представлению о так называемом натуральном уравнении кривой. Натуральное уравнение уже не зависит от положения системы координат и от ее вида. Это уравнение функционально связывает радиус кривизны кривой и длину ее дуги, т. е. те элементы, которые органически связаны с самой природой исследуемой линии. Было доказано, что натуральное уравнение полностью определяет кривую с точностью до ее положения на плоскости. Наибольших успехов это направление в исследовании кривых достигло в работах Чезаро, который присвоил ему название внутренней пли натуральной геометрии.

К концу 19 века в математику всё глубже начинает проникать теоретико-множественная точка зрения, заключающаяся в том, что всякий математический объект рассматривается как множество тех или иных элементов. При этом само понятие "множество" уже никак не определяется и относится к числу элементарных понятий. Наиболее отчётливо эту точку зрения сформулировал Г. Кантор (1845 -1918) в ряде своих работ, относящихся к 70-м и началу 80-х годов 19 века. Линия - это континуум С, обладающий следующим свойством: какова бы не была точка х континуума С и положительное число , на плоскости найдётся точка у, не принадлежащая континууму С и удалённая от точки х менее чем на . (Кратко: линия - континуум без внутренних точек. Континуумом Кантор называет связный компакт) .

В заключение хотелось бы сказать о плодотворной идее использования векторного аппарата при исследовании свойств линий, которая связывается с именем Грассмана, и о топологическом методе исследования кривых, имеющих наиболее сложные формы.

Таким образом, при исследовании линий используются и методы алгебры, и методы геометрии, и методы дифференциальной геометрии, а значит, и методы математического анализа.

Делись добром ;)