Преобразования, повышающие порядок плоских алгебраических кривых

дипломная работа

1.2 Классификация Ньютона кривых третьего порядка

Классификации кривых второго порядка хорошо известны из курса аналитической геометрии. Оказывается, что различных типов кривых второго порядка весьма немного. Это эллипс, гипербола, парабола, пара параллельных прямых и пара пересекающихся прямых .

Кривая второго порядка -- геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

,

в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.

Наиболее употребим способ классификации данных кривых по инвариантам. Вид кривой зависит от четырех инвариантов:

1. инварианты относительно поворота и сдвига системы координат

2. инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант)

Классификация невырожденных кривых второго порядка (кривая второго порядка называется невырожденной, если ):

· Эллипс -- при условии D > 0 и IД < 0;

· Окружность (частный случай эллипса) -- при условии a11 = a22, a12 = 0.

· Мнимый эллипс (пустое множество) -- при условии D = 0 и IД > 0.

· Гипербола -- при условии D < 0.

· Парабола -- при условии D = 0.

Классификация вырожденных кривых второго порядка (кривая второго порядка называется вырожденной, если Д = 0):

· Точка -- при условии D > 0 (вырожденный эллипс)

· Пара пересекающихся прямых -- при условии D < 0 (вырожденная гипербола).

· Пара параллельных прямых -- при условии D = 0 и B < 0.

· Прямая (две слившихся параллельных прямых) -- при условии D = 0 и B = 0.

· Пара мнимых параллельных прямых -- при условии D = 0 и B > 0.

А вот первая полная классификация кривых третьего порядка была выполнена Ньютоном, который и положил тем самым начало систематическому исследованию этих кривых. И.Ньютон в своей классификации делит все кривые третьего порядка на 7 классов, которые содержат в себе 14 родов, подразделяющиеся на 72 типа.

В основу его классификации положен принцип подразделение их на группы в зависимости от количества и характера бесконечных ветвей. Рассмотрим данную классификацию подробнее.

Общее уравнение кривых 3-го порядка имеет вид:

. (1.2.1)

Пусть y = kx+b -- уравнение асимптоты кривой. Для определения параметров k и b необходимо подставить в уравнение этой кривой вместо у выражение kx+b и, взяв в полученном таким образом уравнении коэффициенты двух членов со старшими степенями х, приравнять их нулю. Получаемая при этом система с неизвестными k и b и служит для их определения.

Для кривой (1.2.1) угловой коэффициент асимптоты определится равенством

(1.2.2)

Второй параметр асимптоты -- ее начальная ордината b-- определится равенством

(1.2.3)

где k имеет значение, найденное из уравнения (1.2.2).

Уравнение (1.2.2), будучи кубическим относительно k, даст нам или три действительных значения для k, или одно действительное и два комплексных. Эти значения k и будут определять направление бесконечных ветвей и их количество. Однако нельзя утверждать, что определяемые таким образом бесконечные ветви будут обязательно иметь асимптоты. Для того чтобы асимптота в направлении k действительно существовала, необходимо, чтобы при этом значении k начальная ордината b определялась из равенства (1.2.3), чего может и не быть.

Таким образом, количество бесконечных ветвей кривой (1.2.1) зависит от числа действительных корней уравнения (1.2.2); характер ветвей определится равенством (1.2.3).

Если при k = , где -- действительный корень уравнения (1.2.2), уравнение (1.2.3) имеет решение --действительное число , то соответствующая ветвь кривой будет иметь асимптоту , т. е. будет ветвью гиперболического типа. Если же решение уравнения (1.2.3) при k=k1 не существует или оказывается неопределенным, то соответствующая ветвь кривой будет параболической, т. е. не будет иметь асимптоты. Очевидно, параметр b не определяется уравнением (1.2.3), если одновременно

, (1.2.4)

(1.2.5)

, (1.2.6)

. (1.2.7)

В первом случае b не существует, во втором -- остается неопределенным. Рассмотрим, когда эти случаи возможны.

Если все три корня уравнение (1.2.2) действительны и среди них нет кратных, то левая часть равенства (1.2.4), являющаяся производной от левой части уравнения (1.2.2), не может равняться нулю и следовательно, соответственно трем значениям k будут определены три значения для b; кривая имеет три асимптоты трех гиперболических ветвей.

Если уравнение (1.2.2) имеет один действительный корень и два комплексных, то равенство (1.2.4) также не будет удовлетворяться и соответствующее значение для b выразится определенным числом кривая будет иметь одну асимптоту.

Если уравнение (1.2.2) имеет действительный двукратный корень, то производная левой части уравнения (1.2.2) обратится в нуль и, следовательно, значение двукратного корня удовлетворит равенству (1.2.4). Если оно при этом удовлетворит также неравенству (1.2.5), то b не существует и, следовательно, кратное значение корня соответствует параболической ветви кривой, а третьему, однократному значению корня будет соответствовать гиперболическая ветвь».

Если двукратный действительный корень уравнения (1.2.2), обязательно удовлетворяя равенству (1.2.6), удовлетворяет и равенству (1.2.7), то значение b оказывается неопределенным, так как уравнение (1.2.3) обращается в тождество. При отыскании асимптот алгебраической кривой в подобном случае приравнивается нулю коэффициент следующего старшего члена равенства, которое получается, если и уравнение (1.2.1) подставить вместо у выражение kx+b. В нашем случае но будет коэффициент при х; уравнение, которым должно определиться значение b, окажется квадратным:

. (1.2.8)

Обратимся теперь к рассматриваемому нами случаю. Так как мы предполагали корень уравнения (1.2.2) двукратным, то и, значит, уравнение (1.2.8) доставит нам два значения для b, которые могут быть действительными различными, равными или комплексными. Поэтому двукратному корню уравнения (1.2.2) соответствуют две параллельные асимптоты, которые могут совпасть в одну, а могут быть мнимыми.

5. Положим теперь, что уравнение (1.2.2) имеет трехкратный корень. При этом значении корня обращается в нуль не только первая, но и вторая производная от левой части уравнения (1.2.2), т. е. имеют место равенства

и

Здесь возможны следующие подслучаи:

а)если , то b не существует и кривая не имеет асимптот; значение трехкратного корня соответствует в этом случае параболической ветви кривой;

б)если, a , то уравнение (1.2.3) для определения b уже не годится и заменяется уравнением (1.2.8), которое станет линейным, так как , и доставит только одни значение ; следовательно, кривая будет иметь только одну асимптоту;

в) если и, но при этом, то не существует и, следовательно, асимптот у кривой нет (заметим, что если , то кривая распадается на три параллельные прямые).

На основе проведенных исследований имеется возможность, в зависимости от вида корней уравнения (1.2.2), подразделить все кривые 3-го порядка на семь групп. Рассмотренные выше случаи 1-5 приводят к 7 основным классам кривых третьего порядка. Сведения об этих 7 классах и их разделении на различные типы можно собрать в виде следующих таблиц 1-7 .

Таблица 1. Группа 1. hyperbolae redundantes (раскинутые гиперболы)

Корни уравнения (1.2.2)

Асимптоты и ветви

Вид уравнения

Формы кривых определяются вспомогательным уравнением

все три корня действительные и различные

три асимптоты и три гиперболические ветви

(1.2.9)

Возможны следующие случаи для корней вспомогательного уравнения:

Все корни уравнения (1.2.9) комплексные или все действительные различные. В этом случае кривая соответственно состоит из трех гиперболических ветвей и овала или из двух гиперболических ветвей и одной прямолинейной ветви (прямолинейной называется гиперболическая ветвь, вытянутая вдоль прямой, являющейся ее асимптотой, которую она пересекает и к которой приближается в двух прямо противоположных направлениях и с разных сторон) (рис.а и b).

2) Два корня уравнения (1.2.9) действительные и различные, а два других -- комплексные; кривая состоит из трех гиперболических ветвей (рис. в);

3)Два корня уравнения (1.2.9) равны между собой, а остальные корни или комплексные, или одновременно больше или меньше равных корней; кривая состоит из трех гиперболических ветвей, две из которых пересекаются между собой, или из трех гиперболических ветвей, одна из которых имеет узловую точку (рис. г и д);

все корни уравнения (1.2.9) действительны, причем два средних по величине равны" между собой; кривая состоит из трех гиперболических ветвей и имеет изолированную точку (рис. е);

5) три корня уравнения (1.2.9) равны между собой; кривая состоит из трех гиперболических ветвей, одна из которых имеет точку возврата (рис.1, ж).

Таблица 2. Группа 2. hyperbolae defectivae (дефективные гиперболы)

Корни уравнения (1.2.2)

Асимптоты и ветви

Вид уравнения

Формы кривых определяются вспомогательным уравнением

имеет один действительный корень

имеет одну асимптоту и одну бесконечную ветвь прямолинейного типа

(9)

Возможны следующие случаи для корней вспомогательного уравнения:

Все корни ур.(1.2.9) действительны и различны; кривая состоит из одной прямолинейной ветви и овала (рис.а);

два корня ур. (1.2.9) действительны и различны, два других-- комплексные; кривая состоит из одной бесконечной ветви прямолинейного характера (рис. б);

среди четырех действительных корней ур.(1.2.9) два средних по величине равны между собой; кривая представляет бесконечную прямолинейную ветвь, имеющую узел (рис. в);

4) среди четырех действительных корней ур. (1.2.9) два больших или два меньших равны между собой. Кривая состоит из изолированной точки и бесконечной прямолинейной ветви (рис. г);

5) ур. (1.2.9) имеет трехкратный корень. Кривая представляет собой бесконечную прямолинейную ветвь, имеющую точку возврата (рис. д).

Таблица 3. Группа 3. hyperbolae parabolicae (параболические гиперболы)

Корни уравнения (1.2.2)

Асимптоты и ветви

Вид уравнения

Формы кривых определяются вспомогательным уравнением

два корня, равные между собой, но не удовлетворяющие равенству

имеют две бесконечные ветви смешанного характера, но только одну асимптоту

(1.2.10)

Возможны следующие случаи для корней вспомогательного уравнения:

корни ур.(1.2.10) действительны и различны; если знаки корней одинаковые, то кривая состоит из двух бесконечных ветвей, одна из которых прямолинейная, если же корни имеют разные знаки, то кривая состоит из двух бесконечных ветвей и овала

(рис.а ,б).

2)Ур.(1.2.10) имеет один действительный корень; кривая состоит из двух бесконечных ветвей смешанного типа (рис.в)

3)два корня ур.(1.2.10) равны между собой по модулю; кривая состоит из двух пересекающихся ветвей, если корни имеют разные знаки, и из двух бесконечных ветвей, на одной из которых узел, если корни имеют одинаковые знаки (рис.г,д);

два меньших корня ур.(1.2.10) равны между собой; кривая имеет изолир-ую точку и состоит из двух бесконечных ветвей (рис.е);

5)ур.(1.2.10) имеет трехкратный корень; кривая состоит из двух бесконечных ветвей, на одной из которых точка возврата (рис.ж).

Таблица 4. Группа 4. hyperbolbmi sectionum conicarum (гиперболизмы конических сечении)

Корни уравнения (1.2.2)

Асимптоты и ветви

Вид уравнения

Формы кривых определяются

два корня, равные между собой и удовлетворяющие равенству

имеет одну, две или три асимптоты, причем две из этих трех асимптот параллельны между собой и могут быть различными, совпадающими и мнимыми

выражением и знаком коэффициента с

Возможны следующие случаи:

1)при положительном с кривая имеет две параллельные асимптоты и бесконечно удаленную узловую точку, причем если >0, то кривая состоит из трех гиперболических ветвей, у одной из которых параллельные асимптоты, а если <0, то кривая состоит из трех гиперболических ветвей, на одной из которых точка перегиба (рис. а и б);

2)при отрицательном с кривая представляет собой бесконечную ветвь прямолинейного характера, имеющую бесконечно удаленную изолированную точку (рис. в);

3)если с=0, то кривая состоит из двух бесконечных ветвей с общими асимптотами и имеет бесконечно удаленную точку возврата (рис. г).

Таблица 5. Группа 5. parabolae divergentes (расходящиеся параболы)

Название группы

Корни уравнения (1.2.2)

Асимптоты и ветви

Вид уравнения

Формы кривых определяются вспомогательным уравнением

Группа 5.

parabolae divergentes (расходящиеся параболы)

все три корня равны между собой, но не удовлетворяют уравнению

имеет бесконечную ветвь параболического типа; асимптот нет

(1.2.11)

Возможны следующие случаи для корней вспомогательного уравнения:

1) если уравнение (1.2.11) имеет один действительный корень, то кривая состоит из одной бесконечной ветви параболического типа (рис. а);

2)если корни уравнения (1.2.11) действительны и различны, то кривая состоит из параболической ветви и овала (рис. б);

3)если все корни уравнения (1.2.11) действительны и среди них два больших корня равны между собой, то кривая состоит из параболической ветви, имеющей узловую точку (рис. в);

4)если все корни ур.(1.2.11) действительны и среди них два меньших корня
равны между собой, то кривая состоит из параболической ветви, имеющей изолированную точку (рис.г);

5) если все корни уравнения (1.2.11) равны между собой, то кривая представляет собой параболическую ветвь, имеющую точку возврата (рис.д).

Таблица 6. Группа 6. tridens (трезубец)

Корни уравнения (1.2.2)

Асимптоты и ветви

Вид уравнения

График

все три корня равны между собой и удовлетворяют равенству , но не удовлетворяют равенству

имеет две бесконечные ветви и только одну асимптоту (рис а)

Таблица 7. Группа 7. parabola cubica (кубическая парабола)

Корни уравнения (1.2.2)

Асимптоты и ветви

Вид уравнения

График

все корни равны между собой и удовлетворяют уравнениям и

кривая представляет собой параболическую ветвь

(рис б)

Делись добром ;)