Преобразования, повышающие порядок плоских алгебраических кривых

дипломная работа

1.3. Циссоида и ее свойства

Рассмотрим простейший способ образования циссоиды - кривой, открытой древними в поисках решения знаменитой задачи об удвоении куба.

Возьмем окружность (называемую производящей) с диаметром и касательную к ней. Через точку проведем луч и на нем отложим отрезок . Построенная таким образом точка принадлежит циссоиде. Повернув луч на некоторый угол, и проделав указанное построение, мы найдем вторую точку циссоиды, и т. д. (Рис. 1.3.1).

Рис. 1.3.1

Если точку принять за полюс, то но и , откуда получаем полярное уравнение циссоиды

(1.3.1)

Пользуясь формулами перехода от полярных координат к декартовым , найдем уравнение циссоиды в прямоугольной системе:

(1.3.2)

Параметрические уравнения циссоиды можно получить, полагая , тогда, на основании уравнения (1.3.2), придем к системе

, , (1.3.3)

Основные геометрические характеристики:

Уравнение (1.3.2) показывает, что циссоида является алгебраической кривой 3-го порядка, а из уравнений (1.3.3) следует, что она является рациональной кривой.

Осевая симметрия: циссоида симметрична относительно оси абсцисс, прямой . Рассматриваемая кривая имеет бесконечные ветви; касательная к производящей окружности, т. е. прямая , служит для нее асимптотой -- вертикальная асимптота, а прямая -- касательная в точке возврата. Особые точки: - начало координат является точкой возврата 1-го рода. Центральная симметрия: нет. Циссоида является неограниченноой, связной кривой, без точек самопересечения .

Итак, циссоида Диоклеса -- неограниченная связная кривая с одной особой точкой (точка возврата 1-го рода), одной вертикальной асимптотой и одной осью симметрии.

Делоская проблема. Задача об удвоении куба.

Задача об удвоении куба состоит в следующем: если - сторона данного куба, тогда объем этого куба равен . .

Тогда необходимо найти сторону куба, объем которого будет равен , то есть . Пусть - сторона искомого куба, тогда его объем равен .

Получаем, . Отсюда, . Таким образом, задача об удвоении куба приводит к построению выражения .

Эта задача является частным случаем другой задачи, которая много раз рассматривалась древними, - задача о построении двух средних пропорциональных. На это впервые указал Гиппократ Хиосский (вторая половина V в. до н.э.) .

Рассмотрим задачу о построении двух средних пропорциональных.

Задача. Даны два отрезка и . Требуется построить два средних пропорциональных, то есть два отрезка и , которые удовлетворяли бы уравнениям: .

Решение.

Рассмотрим равенства

(1.3.4)

(1.3.5)

Из равенства (1.3.4) следует, что . Из равенства (1.3.5) следует, что и .

Подставив в выражение выражение , получаем , , .

Аналогично получаем: , .

Подставив в равенство выражение, получаем , , .

Таким образом, , .

В частности, если , , то и .

Удвоение куба требует построения выражения или графического определения корней уравнения: .

Это уравнение третьей степени не имеет рациональных корней и поэтому неразрешимо в квадратных радикалах. Таким образом, выражение не может быть построено с помощью циркуля и линейки.

Для решения этой задачи необходимы конические сечения или кривые высшего порядка.

Решение делоской задачи с помощью циссоиды Диоклеса (около 150 г. до н.э.).

Диоклес нашел для решения задачи об удвоении куба кривую. Построим ее.

Пусть дан отрезок , равный 1.

Проведем через его концы перпендикуляры g и h. (рис. 1.3.2)

Рис. 1.3.2

Отметим на прямой g произвольную точку P1. Этой точке на прямой h поставим в соответствие такую точку P2, для которой .

Если , то .

Теперь проведем прямые и они пересекутся в некоторой точке , которая при изменении опишет некоторую кривую, циссоиду Диоклеса. (рис. 1.3.3)

Рис. 1.3.3

Выведем уравнение этой кривой.

Введем прямоугольную систему координат: (рис. 1.3.4)

Рис. 1.3.4

Уравнение прямой ; а уравнение прямой .

Из этих уравнений, мы получаем, . Это и есть уравнение циссоиды.

Таким образом, для решения задачи об удвоении куба необходимо построить отрезок , циссоиду (рис. 1.3.5). Она пересечет отрезок в точке . После чего, построить прямую , она пересечет прямую h в точке, при этом получаем, что .

Рис. 1.3.5

Другие свойства циссоиды Диоклеса

Теорема 1.3.1. Объем тела, полученного вращением циссоиды вокруг ее асимптоты, равен объему тора, полученного от вращения производящего круга вокруг асимптоты .

Доказательство теоремы разобьем на три шага:

1) Шаг I.

2) Шаг II. Объем тора из формулировки теоремы равен .

3) Шаг III.Объем тела вращения из формулировки теоремы равен .

Шаг I.

Доказательство:

Обозначим и проверим, что , и что верна рекуррентная формула , тогда ,

Интеграл вычислим непосредственно:

Для получения рекуррентной формулы используем интегрирование по частям:

,

Ч.т.д.

Шаг II

Доказательство:

Вращать вокруг асимптоты все равно, что вращать вокруг оси ординат.

Рис. 1.3.6

Рис. 1.3.7

- уравнение окружности радиуса R,

,

,

, - четная, значит

Ч.т.д.

Шаг III. Доказательство теоремы 1:

,

Рис. 1.3.8 Рис. 1.3.9

(1.3.6)

Подставим в равенство (1), получим:

,

,

,

Теорема доказана.

кривая плоскость циссоида ньютон

Делись добром ;)