Преобразования, повышающие порядок плоских алгебраических кривых
1.3. Циссоида и ее свойства
Рассмотрим простейший способ образования циссоиды - кривой, открытой древними в поисках решения знаменитой задачи об удвоении куба.
Возьмем окружность (называемую производящей) с диаметром и касательную к ней. Через точку проведем луч и на нем отложим отрезок . Построенная таким образом точка принадлежит циссоиде. Повернув луч на некоторый угол, и проделав указанное построение, мы найдем вторую точку циссоиды, и т. д. (Рис. 1.3.1).
Рис. 1.3.1
Если точку принять за полюс, то но и , откуда получаем полярное уравнение циссоиды
(1.3.1)
Пользуясь формулами перехода от полярных координат к декартовым , найдем уравнение циссоиды в прямоугольной системе:
(1.3.2)
Параметрические уравнения циссоиды можно получить, полагая , тогда, на основании уравнения (1.3.2), придем к системе
, , (1.3.3)
Основные геометрические характеристики:
Уравнение (1.3.2) показывает, что циссоида является алгебраической кривой 3-го порядка, а из уравнений (1.3.3) следует, что она является рациональной кривой.
Осевая симметрия: циссоида симметрична относительно оси абсцисс, прямой . Рассматриваемая кривая имеет бесконечные ветви; касательная к производящей окружности, т. е. прямая , служит для нее асимптотой -- вертикальная асимптота, а прямая -- касательная в точке возврата. Особые точки: - начало координат является точкой возврата 1-го рода. Центральная симметрия: нет. Циссоида является неограниченноой, связной кривой, без точек самопересечения .
Итак, циссоида Диоклеса -- неограниченная связная кривая с одной особой точкой (точка возврата 1-го рода), одной вертикальной асимптотой и одной осью симметрии.
Делоская проблема. Задача об удвоении куба.
Задача об удвоении куба состоит в следующем: если - сторона данного куба, тогда объем этого куба равен . .
Тогда необходимо найти сторону куба, объем которого будет равен , то есть . Пусть - сторона искомого куба, тогда его объем равен .
Получаем, . Отсюда, . Таким образом, задача об удвоении куба приводит к построению выражения .
Эта задача является частным случаем другой задачи, которая много раз рассматривалась древними, - задача о построении двух средних пропорциональных. На это впервые указал Гиппократ Хиосский (вторая половина V в. до н.э.) .
Рассмотрим задачу о построении двух средних пропорциональных.
Задача. Даны два отрезка и . Требуется построить два средних пропорциональных, то есть два отрезка и , которые удовлетворяли бы уравнениям: .
Решение.
Рассмотрим равенства
(1.3.4)
(1.3.5)
Из равенства (1.3.4) следует, что . Из равенства (1.3.5) следует, что и .
Подставив в выражение выражение , получаем , , .
Аналогично получаем: , .
Подставив в равенство выражение, получаем , , .
Таким образом, , .
В частности, если , , то и .
Удвоение куба требует построения выражения или графического определения корней уравнения: .
Это уравнение третьей степени не имеет рациональных корней и поэтому неразрешимо в квадратных радикалах. Таким образом, выражение не может быть построено с помощью циркуля и линейки.
Для решения этой задачи необходимы конические сечения или кривые высшего порядка.
Решение делоской задачи с помощью циссоиды Диоклеса (около 150 г. до н.э.).
Диоклес нашел для решения задачи об удвоении куба кривую. Построим ее.
Пусть дан отрезок , равный 1.
Проведем через его концы перпендикуляры g и h. (рис. 1.3.2)
Рис. 1.3.2
Отметим на прямой g произвольную точку P1. Этой точке на прямой h поставим в соответствие такую точку P2, для которой .
Если , то .
Теперь проведем прямые и они пересекутся в некоторой точке , которая при изменении опишет некоторую кривую, циссоиду Диоклеса. (рис. 1.3.3)
Рис. 1.3.3
Выведем уравнение этой кривой.
Введем прямоугольную систему координат: (рис. 1.3.4)
Рис. 1.3.4
Уравнение прямой ; а уравнение прямой .
Из этих уравнений, мы получаем, . Это и есть уравнение циссоиды.
Таким образом, для решения задачи об удвоении куба необходимо построить отрезок , циссоиду (рис. 1.3.5). Она пересечет отрезок в точке . После чего, построить прямую , она пересечет прямую h в точке, при этом получаем, что .
Рис. 1.3.5
Другие свойства циссоиды Диоклеса
Теорема 1.3.1. Объем тела, полученного вращением циссоиды вокруг ее асимптоты, равен объему тора, полученного от вращения производящего круга вокруг асимптоты .
Доказательство теоремы разобьем на три шага:
1) Шаг I.
2) Шаг II. Объем тора из формулировки теоремы равен .
3) Шаг III.Объем тела вращения из формулировки теоремы равен .
Шаг I.
Доказательство:
Обозначим и проверим, что , и что верна рекуррентная формула , тогда ,
Интеграл вычислим непосредственно:
Для получения рекуррентной формулы используем интегрирование по частям:
,
Ч.т.д.
Шаг II
Доказательство:
Вращать вокруг асимптоты все равно, что вращать вокруг оси ординат.
Рис. 1.3.6
Рис. 1.3.7
- уравнение окружности радиуса R,
,
,
, - четная, значит
Ч.т.д.
Шаг III. Доказательство теоремы 1:
,
Рис. 1.3.8 Рис. 1.3.9
(1.3.6)
Подставим в равенство (1), получим:
,
,
,
Теорема доказана.
кривая плоскость циссоида ньютон