2.1. Циссоида, как подэра параболы относительно ее вершины

Определение: Пусть дана кривая , точка , не лежащая на ней. Возьмем произвольную точку , построим касательную к кривой в точке . Из точки опустим перпендикуляр к касательной и найдем основание этого перпендикуляра: . Множество точек называется подэрой кривой относительно точки . (Рис. 2.1.1)

Рис. 2.1.1

Приведем простейшие примеры:

Пример 1. Подэра прямой относительно точки, не лежащей на этой прямой, состоит из одной точки - основания перпендикуляра (рис. 2.1.2).

- прямая,

Рис. 2.1.2

Пример 2. Подера окружности относительно ее центра есть сама окружность (рис. 2.1.3).

- окружность, , О - центр окружности

Рис. 2.1.3

Пример 3. Подэра двух пересекающихся прямых относительно точки, лежащей на этих прямых есть точка на этих прямых.

Возьмем точку на кривой с координатами . Построим подэру двух пересекающихся прямых относительно этой точки.

Проведем касательную l к точке кривой. Она совпадет с той прямой, на которой и лежит точка. (Рис. 2.1.4). Из данной точки кривой опустим перпендикуляр на касательную. Точка является подерой кривой, если точка лежит на прямой (1). Если точка лежит на прямой (2), то подэрой кривой будет точка . Итак, подэра двух пересекающихся прямых - две точки: точка и точка с координатами .

Рис. 2.1.4

Очень интересным является то, что подэра устанавливает связь между кривыми второго порядка и кривыми третьего порядка. Начнем с конкретного примера такой связи.

Теорема 2.1.1. Циссоида является подэрой некоторой параболы относительно вершины этой параболы.

Доказательство:

Необходимо найти подэру параболы относительно ее вершины.

Пусть - точка на параболе. Построим касательную l к параболе в данной точке. Из общей теории кривых второго порядка следует, что касательная l к параболе, проведенная в точке , задается уравнением:

Рис. 2.1.5

Пусть прямая проходит через начало координат перпендикулярно l. Ее уравнение имеет вид , а т.к. , то , тогда . (Рис. 2.1.5)

Получаем систему из трех уравнений относительно четырех переменных :

Из этой системы найдем связь между и :

Из (2.1.3): , т.е. (2.1.4)

Из (2.1.1):

Но, поэтому получим: (2.1.5)

Подставим (2.1.4) и (2.1.5) в (2.1.2):

Получили уравнение кривой третьего порядка. Преобразуем его.

Подобрав так, что получаем уравнение циссоиды Диоклеса , см. выше стр. 20.

Т.о. мы получаем, что подерой параболы относительно ее вершины является циссоида Диоклеса. Теорема доказана.

Рассмотрим симметричную задачу:

Задача 1. Найти подэру параболы относительно ее вершины.

Решение

Пусть - точка на параболе. Построим касательную l к параболе в данной точке (рис. 2.1.6).

Составим систему трех уравнений:

Далее находим связь между и : - получили уравнение кривой третьего порядка, преобразовав которое получаем - уравнение циссоиды Диоклеса.

Рис. 2.1.6

Т.о. делаем вывод о том, что подерой параболы относительно ее вершины является циссоида Диоклеса.

Несколько изменим предыдущее утверждение, т.е. сместим по оси абсцисс точку, относительно которой рассматривается подэра.

Задача 2. Найти подэру параболы относительно точки .

Решение

Построим касательную к параболе в данной точке.

,

Пусть прямая проходит через начало координат перпендикулярно l. Ее уравнение имеет вид , а т.к. , то , и так как тогда проходит через точку , то , , и следовательно . (Рис. 2.1.7).

Рис. 2.1.7

Получаем систему из трех уравнений относительно четырех переменных :

Найдем связь между и :

Из (2.1.8): ,

 (2.1.9)

Из (2.1.6): , но , тогда: . (2.1.10)

Подставим (2.1.9) и (2.1.10) в (2.1.7): . Преобразуем равенство:

-

полученное уравнение является уравнением кривой третьего порядка.

Т.о. мы получаем, что подерой параболы относительно точки является кривая третьего порядка.

Теперь найдем подэру параболы относительно произвольной точки плоскости:

Задача 2. Найти подэру параболы относительно точки .

Рис. 2.1.8

Решение

Проведем касательную к параболе в данной точке и запишем ее уравнение.

,

Далее построим перпендикуляр к касательной, проходящий через точку . (Рис. 2.1.8).

,

, , , , следовательно

.

Далее составим систему трех уравнений с четырьмя неизвестными:

Из уравнений системы найдем связь между и :

Из (2.1.13):

(2.1.14)

Из (2.1.11): , . Но , тогда:

. (2.1.15)

Подставим (2.1.14) и (2.1.15) в (2.1.12):

.

Полученное уравнение является уравнением кривой третьего порядка. Т.о. мы получаем, что подерой параболы относительно произвольной точки плоскости с координатами является кривая третьего порядка.

2.2 Подэры других кривых второго порядка

В предыдущем параграфе мы показали, что подэрой параболы относительно произвольной точки плоскости является кривая третьего порядка. Проверим переводит ли - преобразование другие кривые второго порядка в кривые третьего порядка.

Для этого рассмотрим следующие задачи:

Задача 2.2.1. Найти подэру окружности относительно точки , не лежащей на данной окружности.

Рис. 2.2.1

Решение

Пусть - точка на окружности. Построим касательную l к окружности в данной точке. Из общей теории кривых второго порядка следует, что касательная l к окружности, проведенная в точке , задается уравнением:

, .

Пусть прямая проходит через точку перпендикулярно l. Ее уравнение имеет вид, а т.к. , то , тогда , . (Рис. 2.2.1).

Значит,

Получаем систему из трех уравнений относительно четырех переменных :

Найдем связь между и :

Из (2.2.3):

, (2.2.4)

Из (2.2.2) и (2.2.4) получим: , ,

. (2.2.5)

Подставив (2.2.5) в (2.2.4), получим:

(2.2.6)

Подставим (2.2.5) и (2.2.6) в (2.2..1), получим:

- уравнение кривой четвертого порядка.

Следовательно, в общем случае, подэра окружности является кривой четвертого порядка.

Задача 2.2.2. Найти подэру гиперболы относительно точки, лежащей на этой гиперболе.

Решение

Возьмем точку на гиперболе с координатами . Построим подэру гиперболы относительно этой точки. Для этого проведем касательную к кривой в точке . Запишем ее уравнение: .

Далее построим перпендикуляр к касательной, проходящий через точку . Т.к. , то , получаем

, ,

следовательно

. (Рис. 2.2.2).

Рис. 2.2.2

Мы получили систему трех уравнений

:

Найдем связь между и :

Из (2.2.8):

, (2.2.9)

Из (2.2.7) и (2.2.9) получим:

, ,

. (2.2.10)

Подставив (2.2.10) в (2.2.9), получим:

,

. (2.2.11)

Подставим (2.2.10) и (2.2.11) в (2.2.6), получим:

Получили уравнение кривой четвертого порядка. Следовательно, подэра гиперболы относительно точки , лежащей на этой гиперболе, является кривой четвертого порядка.

Задача 2.2.2. Найти подэру гиперболы относительно точки, не лежащей на этой гиперболе.

Решение

Возьмем точку, не лежащую на гиперболе с координатами. Построим подэру гиперболы относительно этой точки. (Рис. 2.2.3).

Касательная имеет вид . Прямая , пепендикулярная к касательной и проходящая через точку задается уравнением

.

Рис. 2.2.3

Из получившейся системы трех уравнений

,

найдем связь между и :

Получили уравнение кривой четвертого порядка. Следовательно, подэра гиперболы относительно точки, не лежащей на этой гиперболе, является кривой четвертого порядка.

Задача 2.2.3. Найти подэру эллипса относительно точки на этом эллипсе.

Решение

Возьмем точку на эллипсе с координатами . Построим подэру эллипса относительно этой точки.

Для этого проведем касательную , к эллипсу в точке . Далее построим такую, что проходит через точку эллипса. , , , . (Рис. 2.2.4).

Таким образом,

.

Рис. 2.2.4

Составим систему трех уравнений с четырьмя неизвестными:

Из нее найдем связь между и :

Из (2.2.14):, (2.2.15)

Из (2.2.13) и (2.2.15) получим:

, ,

. (2.2.16)

Подставив (2.2.16) в (2.2.15), получим:

,

. (2.2.17)

Подставим (2.2.16) и (2.2.17) в (2.2.12), получим:

Получили уравнение кривой четвертого порядка. Следовательно, подэра эллипса относительно точки, лежащей на этой гиперболе, является кривой четвертого порядка.

Задача 2.2.3. Найти подэру эллипса относительно точки не лежащей на этом эллипсе.

Решение

Возьмем точку не лежащую на эллипсе с координатами . Построим подэру эллипса относительно этой точки.

Проведем касательную в точке эллипса . К ней восстановим перпендикуляр , проходящий через данную точку . .

Рис. 2.2.5

Получим систему трех уравнений:

.

Из нее найдем связь между и : .

Получили уравнение кривой четвертого порядка. Следовательно, подэра эллипса относительно точки, не лежащей на этой гиперболе, является кривой четвертого порядка.

Из примеров и задач, рассмотренных в § 2.1. и § 2.2. второй главы, следует теорема:

Теорема.

Преобразование подеры переводит произвольную кривую второго порядка в кривую третьего или четвертого порядка.

Гипотеза.

Преобразование подеры переводит кривую n-го порядка в алгебраическую кривую -го или -го порядка.

2.3 Циссоидальные преобразования. Обобщенные циссоиды

Произвольно зафиксируем точку и некоторую прямую , не проходящую через нее. Искомое циссоидальное преобразование (для краткости - преобразование) будет параметрически зависеть от и от .

Это преобразование будет переводить точки плоскости в точки по следующему правилу:

1. проведем прямую ;

2. - точка пересечения прямых и ; (рис. 2.3.1)

3. - точка на прямой такая, что (рис. 2.3.2).

Рис. 2.3.1 Рис. 2.3.2

Другими словами, от точки мы откладываем по прямой отрезок, равный по длине , но противоположный ему по направлению.

Рассмотрим три частных случая расположения точки .

1 случай: точка лежит между точками и .