6. УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАССА И ПУАСОННА (УРАВНЕНИЯ ЭЛЛЕПТИЧЕСКОГО ТИПА) В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ

Напомним уравнение Пуассона (4)

(4)

На практике к построению конечноразностных схем применяют несколько шаблонов.

1. Конечноразностная схема "крест".

Пусть

Рисунок 3 - шаблон схемы "крест"

Запишем конечно разностную аппроксимацию

(5)

Для уравнений Лапласа с равноотстоящими узлами , следует

(6)

Видно, что значение функции являющаяся решением уравнения Лапласа в узле есть среднее арифметическое соседних узлов.

2. Конечноразностная схема

Рисунок 4 - шаблон конечно разностной схемы

Для уравнения Лапласа с равномерной сеткой аппроксимация, по такому шаблону, будет соответствовать конечно разностному уравнению

(7)

Рассмотрим решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа

, , , (8)

где заданная непрерывная функция

Рассмотрим случай квадратной сетки.

Два узла находящиеся на расстоянии называются соседними

Узлы сетки принадлежащие внутренней части называются внутренними .

Узлы которые имеют соседним узлом хотябы один внутренний называют граничными узлами первого рода.

Решение задачи (8) строится конечно разностным методом и согласно (6) получаем систему составленную для каждого внутреннего узла расчетной области , а не хватающие уравнения дополняем исходя из граничных условий

, (9)

где В ближайшая точка границы Г.

Система (6), (9) всегда совместна и имеет единственное решение. Одним из самых эффективных методов решения является метод прогонки.

При решении задачи Неймана или смешенной краевой дополнительными уравнениями системы вместо (9) будут конечно разностные аппроксимации краевых условий.