1.1 Метод Эйлера

Данный метод, как сказано выше, является одношаговым. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчёта значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

y`=f(x,y)

с начальным условием

y(x0)=y0.

Выберем шаг h и введём обозначения:

xi=x0+i*h и yi=y(xi), где i=0,1,2,...,

xi- узлы сетки,

yi- значение интегральной функции в узлах.

Иллюстрации к решению приведены на рисунке 2.

Проведём прямую АВ через точку (xi,yi) под углом б. При этом

tgб=f(xi,yi) (1)

В соответствии с геометрическим смыслом задачи, прямая АВ является касательной к интегральной функции. Произведём замену точки интегральной функции точкой, лежащей на касательной АВ.

Тогда

y i+1=yi+Дy (2).

Из прямоугольного треугольника АВС

tgб= Дy/h (3).

Приравниваем правые части (1) и (3). Получим

Дy/h= f(xi,yi).

Отсюда

Дy= f(xi,yi)*h.

Подставим в это выражение формулу (2), а затем преобразуем его. В результате получаем формулу расчёта очередной точки интегральной функции:

y i+1=yi+ h*f (xi,yi) (4).

Из формулы (4) видно, что для расчёта каждой следующей точки интегральной функции необходимо знать значение только одной предыдущей точки. Таким образом, зная начальные условия, можно построить интегральную кривую на заданном промежутке.

Рисунок 2. Метод Эйлера

Метод Эйлера - один из простейших методов численного решения ОДУ. Но существенным его недостатком является большая погрешность вычислений. На рисунке 2 погрешность вычислений дляi-го шага обозначена е. С каждым шагом погрешность вычислений увеличивается.