8. Самоподобие и самоаффинность

В качестве примера возьмем движение броуновской частицы. Ее координаты на плоскости (х,y) и время (t) являются физическими величинами, имеющими разную размерность. Вот почему координаты и время будут иметь разные коэффициенты подобия. Аффинное преобразование переводит точку x=(x1,x2,…,xE) в новую точку x=(r1 x1, r2 x2,…,rE xE), где не все коэффициенты подобия r1, …,rE одинаковы.

Для самоаффинного профиля можно записать

Здесь b-масштаб увеличения; Н-показатель степени (показатель Хёрста).

Показатель Хёрста изменяется в диапазоне 0<H<1. Для самоаффинных кривых связь между фрактальной размерностью и показателем Хёрста имеет вид D=2?H. Приведенное соотношение справедливо для профилограмм, запись которых ведется с разными масштабами увеличения в горизонтальном и вертикальном направлениях. Для случайного гауссовского процесса Н=0,5.