Разностные уравнения и их применение в экономике
§1. Основные понятия и примеры разностных уравнений
Разностные уравнения играют большую роль в экономической теории. Многие экономические законы доказывают с помощью именно этих уравнений. Разберем основные понятия разностных уравнений.
Пусть время t выступает как независимая переменная, а зависимая переменная определяется для времени t, t-1, t-2 и т.д.
Обозначим через значение в момент времени t; через - значение функции в момент, сдвинутый назад на единицу (например, в предыдущем часу, на предыдущей неделе и т.д.); через - значение функции y в момент, сдвинутый на две единицы назад, и т.д.
Уравнение
(1)
где - постоянные, называется разностным неоднородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Уравнение
(2)
В котором =0, называется разностным однородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами. Решить разностное уравнение n-го порядка - значит найти функцию , которая обращает это уравнение в верное тождество.
Решение, в котором отсутствует произвольная постоянная, называется частным решением разностного уравнения; если же в решении есть произвольная постоянная, то оно называется общим решением. Можно доказать следующие теоремы.
Теорема 1. Если однородное разностное уравнение (2) имеет решения и , то решением будет также функция
где и - произвольные постоянные.
Теорема 2. Если - частное решение неоднородного разностного уравнения (1) и - общее решение однородного уравнения (2), то общим решением неоднородного уравнения (1) будет функция
- произвольные постоянные. Эти теоремы сходны с теоремами для дифференциальных уравнений. Системой линейных разностных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами называется система вида
где - вектор из неизвестных функций, - вектор из известных функций.
Есть матрица размера nn.
Эта система может быть решена сведением к разностному уравнению n-го порядка по аналогии с решением системы дифференциальных уравнений.