Общие понятия и определения
Определение:
Дифференциальным уравнением порядка n называется соотношение, связывающее независимое переменное, его функцию и ее производные до n-го порядка включительно. Его общий вид:
В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно старшей производной y (n):
где функция предполагается быть непрерывной в некоторой области изменения свих аргументов.
Решением уравнения на интервале называется функция , удовлетворяющая условиям:
1. непрерывно дифференцируема раз на I;
2.
3. обращает уравнение в тождество, т.е.
Функция или может и не зависеть от некоторых из аргументов но, во всяком случае, уравнение n-го порядка должно содержать производную n-го порядка.
Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений. 3
Определение:
Нахождение решения уравнения , удовлетворяющего начальным условиям , называется решением задачи Коши.
Задачей Коши (или начальной задачей) для уравнения называется задача нахождения этого уравнения, удовлетворяющего начальным условиям:
где , - заданные числа.
Теорема Пеано:
Если функция непрерывна в области , то для любой точки существует единственное решение уравнения , определенное в некоторой окрестности точки и удовлетворяющее условиям .
Существование и единственность решения задачи Коши гарантирует следующая теорема. 4
Теорема Коши-Пикара:
Если функция непрерывна в области и удовлетворяет условию Липшица по переменным , то для любой точки существует единственное решение уравнения , определенное в некоторой окрестности точки и удовлетворяющее условиям .
Условия теоремы Коши-Пикара выполняются, в частности, если функция непрерывна на и имеет в окрестности точки ограниченные частные производные по .
Пусть - область, в каждой точки которой задача Коши для уравнения имеет единственное решение. Функция , где - произвольные постоянные, называется общим решением уравнения в области , если:
1. функция имеет непрерывные частные производные по до n-го порядка включительно;
2. для любой точки система
единственным образом разрешима относительно
(*)
3. функция является решением уравнения при любых значениях произвольных постоянных в равенствах (*), когда точка () принадлежит области D.
Если общее решение в области D заданно неявно соотношением:
дифференциальное уравнение высший порядок
то называется общим интегралом уравнения в области D.
Любое решение, получаемое из при конкретных числовых значениях , называется частным решением уравнения
Аналогично вводится понятие частного интеграла. Если известно общее решение или общий интеграл , то решить задачу Коши можно следующим способом: из соотношений и и тех, которые получаются из них (n-1) - кратным дифференцированием по x с использованием начальных условий , получаем систему для определения .
Решив эту систему и подставив конкретные значения в или в , получим решение задачи Коши:
,
или частный интеграл , с помощью которого неявно задано решение задачи Коши.
Если в равенстве учесть явный вид зависимости от , то получим общее решение в так называемой форме Коши:
Если соотношения и заданы в виде:
то называют общим интегралом в параметрической форме.
Для уравнения не разрешенного относительно производной , задача Коши ставится аналогично задаче Коши для уравнения
При этом если заданным числам и каждому из значений , определяемых из уравнения:
соответствует только одно решение, то говорят, что задача Коши имеет единственное решение. 2
Теорема (существования и единственности решения задачи Коши для уравнения):
Пусть функция F непрерывна в области G и имеет непрерывные частные производные по . Тогда для любой точки такой, что
существует единственное решение уравнения , определенное в некоторой окрестности точки и удовлетворяющее условиям . 2
Пример 1:
Показать, что функция заданная уравнением является решением уравнения
Решение:
Находим . Имеем:
Подставим наши вычисления в , и тогда получим:
Следовательно, функция является решением данного уравнения. 5
Пример 2:
Показать что функция , параметрически заданна системой уравнений:
Является решением уравнения:
Решение:
Находим . Имеем:
Подставим получившееся результаты в уравнение
Следовательно, функция является решением данного уравнения. 1
- Дифференциальные уравнения высших порядков.
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения высших порядков.
- Тема 13. Дифференциальные уравнения высших порядков. Системы дифференциальных уравнений.
- Дифференциальные уравнения высших порядков.
- Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- 3.5 Дифференциальные уравнения высших порядков.