2.2 Исправленный метод Эйлера

В исправленном методе Эйлера мы находим средний тангенс наклона касательнй для двух точек: x_m, y_m и x_m+h, y_m+hy_m. Последняя точка есть та самая, которая в простом методе обозначалась x_m+1, y_m+1. Геометрический процесс нахождения точки x_m+1, y_m+1 можно проследить по рисунку 2. С помощью метода Эйлера находится точка x_m+h, y_m+hy_m, лежащая на прямой L_1. В этой точке снова вычисляется тангенс угла наклона касательной, на рисунке этому значению соответствует прямая L₂. Усреднение двух тангенсов дает прямую L₃. Наконец, через точку x_m, y_m мы проводим прямую L₃ параллельную L₃. Точка, в которой прямая L₃ пересечется с ординатой, восстановленной из x= x_m+1=x_m+h, и будет искомой точкой y= y_m+1= y_m+hy_m. Тангенс угла наклона L₃ равен:

F(x_m, y_m)=1/2[f(x_m, y_m)+f(x_m+h, y_m+hy_m)], (5)

где y_m = f(x_m, y_m) (6)

Уравнение линии L₃ при этом записывается в виде:

y = y_m + (x - x_m)*F(x_m) (7)

так что:

y_m+1 = y_m + h*F(x_m) (8)

Соотношения 5, 6, 7 и 8 описывают исправленный метод Эйлера. (рис. 2)

35

Рисунок 2.