Решение практических заданий по дискретной математике

контрольная работа

Является ли полной система булевых функций ? Если система функций полная ,то выписать все возможные базисы.

Решение:

Рассмотрим функцию .

1. Принадлежность функции к классу :

.

Следовательно, .

2. Принадлежность функции к классу :

.

Следовательно, .

3. Принадлежность функции к классу .

Предположим, что функция линейная и, следовательно, представима в виде полинома Жегалкина первой степени:

.

Найдем коэффициенты .

Фиксируем набор 000:

,

,

Следовательно, .

Фиксируем набор 100:

,

,

Следовательно, .

Фиксируем набор 010:

,

,

.

Следовательно, .

Фиксируем набор 001:

,

,

, .

Следовательно, функция (по нашему предположению) может быть представлена полиномом вида:

.

Если функция линейная, то на всех остальных наборах ее значение должно равняться 1. Но на наборе 111 . Значит, функция не является линейной, т.е. .

4. Принадлежность функции к классу .

Функция самодвойственная, если на любой паре противоположных наборов (наборов, сумма десятичных эквивалентов которых равна , где п - количество переменных функции) функция принимает противоположные значения.

Вычисляем . Вычисляем значения функции на оставшихся наборах:

Строим таблицу:

(000)

0

(001)

1

(010)

2

(011)

3

(100)

4

(101)

5

(110)

6

(111)

7

1

1

1

1

1

1

1

0

На наборах 1 и 6, 2 и 5, 3 и 4 функция принимает одинаковые значения. Следовательно, .

5. Принадлежность функции к классу .

Из таблицы видно: 000 < 111 , но . Следовательно, .

Рассмотрим функцию .

1. Принадлежность функции к классу :

.

Следовательно, .

2. Принадлежность функции к классу :

.

Следовательно, .

3. Принадлежность функции к классу .

Предполагаем, что

.

Фиксируем набор 000:

,

.

Фиксируем набор 100:

,

.

Фиксируем набор 010:

,

.

Фиксируем набор 001:

,

.

Окончательно получаем

.

Это равенство не соблюдается на наборе 011:

,

.

Следовательно, .

4. Принадлежность функции к классу .

Вычислим значения функции на оставшихся наборах:

Строим таблицу :

(000)

0

(001)

1

(010)

2

(011)

3

(100)

4

(101)

5

(110)

6

(111)

7

1

1

1

0

0

0

0

0

Из таблицы видно, что на наборах 3 и 4 функция принимает одинаковые значения. Следовательно, .

5. Принадлежность функции к классу .

Из таблицы видно, что 111 > 000 , но . Следовательно, .

Строим критериальную таблицу:

К0

К1

КЛ

КС

КМ

f1

-

-

-

-

-

f2

-

-

-

-

-

В таблице в каждом столбце стоят минусы. Следовательно, система булевых функций

является полной .

Найдем все возможные базисы. По критериальной таблице составим КНФ :

.

Приведем КНФ к ДНФ :

.

По полученной ДНФ выписываем искомые базисы:

.

Делись добром ;)