ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

При рассмотрении всевозможных физических явлений часто не удаётся непосредственно найти зависимость между величинами, характеризующими эволюционный, т.е. изменяющийся во времени процесс. Аналогичные трудности могут возникнуть и в ситуациях, когда в качестве независимого переменного выступает одна из координат точки или иная переменная величина. Однако во многих случаях можно установить связь между искомыми характеристиками изучаемого явления (функциями) и скоростями их изменения относительно других переменных, т.е. найти уравнения, в которые входят производные неизвестных функций. Такие уравнения называют дифференциальными.

Если неизвестные функции зависят от одного независимого переменного (аргумента), то говорят об обыкновенных дифференциальных уравнениях (ОДУ), иначе - о дифференциальных уравнениях с частными производными. Далее будут рассматриваться (в основном) свойства и методы решения ОДУ.

Обозначив независимое переменное, производная по которому от искомой функции входит в состав ОДУ, через t, а эту искомую скалярную функцию через x(t), запишем ОДУ в виде

F. (1.1)

Порядок n N старшей производной в (1.1) называют порядком дифференциального уравнения. Таким образом, (1.1) является обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка.

Определение 1.1. Решением обыкновенного дифференциального уравнения (1.1) в некотором промежутке времени числовой прямой R называют n раз непрерывно дифференцируемую в этом промежутке функцию x(t), удовлетворяющую при любом этому уравнению.

Если в (1.1) n = 1, то имеем обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка . Во многих случаях его удаётся записать в виде

(1.2)

Тогда его называют обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной. При n > 1 получаем обыкновенное дифференциальное уравнение высшего порядка.

В (1.1) и (1.2) входит одна искомая функция x(t). В теории ОДУ рассматривают такие же системы уравнений, которые состоят из n обыкновенных дифференциальных уравнений и такого же числа искомых функций.

Если система ОДУ первого порядка разрешена относительно производных:

, (1.3)

то её называют нормальной системой ОДУ. В этом случае число n уравнений, входящих в (1.3), называют порядком нормальной системы ОДУ. Если первые части (1.3) не зависят явно от , то имеем автономную нормальную систему ОДУ.

Рассматривая ) как координатные функции, введём вектор-функцию скалярного аргумента . Аналогично, считая , , координатными функциями векторной функции, представим её в виде .

Тогда (1.3) можно записать в векторной форме

. (1.4)

Определение 1.2. Решением нормальной системы (1.4) ОДУ в некотором промежутке называют вектор-функцию x(t), определённую и непрерывно дифференцируемую в этом промежутке и при любом удовлетворяющую этой системе.

Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка

, (1.5)

разрешённое относительно старшей производной, можно свести к нормальной системе. Действительно, обозначив , получим , и (1.5) примет вид

(1.6)

;

Процесс нахождения решения ОДУ обычно называют интегрированием дифференциального уравнения. Если решение ОДУ можно получить при помощи конечного числа операций интегрирования и дифференцирования и выразить через элементарные функции, то иногда говорят, что решение дифференциального уравнения получено (или выражено) в квадратурах.

Следует отметить, что ОДУ имеют обычно бесконечное множество решений. Например, нетрудно проверить подстановкой, что при любом значении постоянного числа a функция является решением ОДУ первого порядка .

Теоремы существования и единственности.

(1.61)

Теорема существования. Если в уравнении (1.61) функция определена и непрерывна в некоторой ограниченной области плоскости (x,y), то для любой точки существует решение начальной задачи

, , (1.62)

определённое на некотором интервале, содержащем точку .

Теорема существования и единственности. Если в уравнении (1.61) функция определена и непрерывна в некоторой ограниченной области плоскости , причём она удовлетворяет в области условию Липшица по переменной , т.е.

,

где - положительная постоянная, то для любой точки существует единственное решение начальной задачи (1.62), определённое на некотором интервале, содержащем точку .

Теорема о продолжении. При выполнении условий теоремы существования или теоремы существования и единственности всякое решение уравнения (1.61) с начальными данными может быть продолжено до точки, сколь угодно близкой к границе области . При этом в первом случае продолжение, вообще говоря, будет не обязательно единственным, во втором же случае оно единственно.

Геометрическая интерпретация решения ОДУ.

Поле направлений.

Всякое решение , ( ) нормальной системы (1.3) ОДУ в интервале Т можно интерпретировать геометрически как кривую Г с координатным представлением

Рис. 1

в (n + 1)-мерном пространстве , точки которого имеют координаты . Это пространство называют расширенным фазовым пространством, а кривую Г - интегральной кривой. Фазовым пространством называют n-мерное пространство с координатами точек (, а проекцию на него интегральной кривой - фазовой траекторией (рис 1).

Эта траектория является годографом вектор-функции . Координаты точек ( иногда называют фазовыми переменными. В частном случае фазовым пространством будет фазовая плоскость, а фазовой траекторией - плоская кривая. В каждой точке некоторой области расширенного фазового пространства система (1.3) определяет направление, характеризуемое вектором . Первая составляющая этого вектора равна единице, поскольку для первой координаты t точки расширенного фазового пространства . Построив в каждой точке вектор s получим в области D множество векторов, называемое векторным полем. В каждой точке вектор s задаёт направление касательной к проходящей через эту точку интегральной кривой системы (1.3), множество которых называют полем направлений.

Интегрирование системы (1.3) ОДУ можно рассматривать как процесс нахождения кривых, у которых в каждой точке направление касательной совпадает с направлением вектора s (см. рис. 1).