Внешняя геометрия поверхностей с постоянным типом точек

лабораторная работа

2.1 Основные понятия

Множество М в трехмерном евклидовом пространстве называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя его точками X и Y содержит соединяющий их прямолинейный отрезок (рис.8). Замкнутое плоское выпуклое множество с внутренними точками называется выпуклой областью.

Связная часть границы выпуклой области называется выпуклой кривой. Граница конечной выпуклой области называется замкнутой выпуклой кривой. Замкнутая выпуклая кривая гомеоморфна окружности. Прямая g, проходящая через точку Х границы выпуклой области G, называется опорной, если вся область располагается в одной из полуплоскостей, определяемых этой прямой. Через каждую граничную точку выпуклой области проходит по крайней мере одна опорная прямая.

Если выпуклая кривая является границей выпуклой области G или частью ее границы, то опорная прямая в каждой точке кривой к области G называется также опорной прямой кривой .

Точки выпуклой кривой подразделяются на гладкие и угловые. Именно, точка Х выпуклой кривой называется гладкой, если через эту точку проходит единственная опорная прямая. В противном случае точка Х называется угловой точкой. В угловой точке опорные прямые заполняют некоторый вертикальный угол с вершиной в этой точке, причем стороны этого угла тоже являются опорными прямыми (рис. 10).

Рис.10

Всякая выпуклая кривая является спрямляемой, т.е. имеет определенную длину. Если замкнутая кривая охватывает выпуклую кривую , то длина не превосходит длины .

Выпуклым телом называется замкнутое выпуклое множество в пространстве, имеющее внутренние точки. Для того, чтобы замкнутое выпуклое множество было выпуклым телом, необходимо и достаточно, чтобы не существовало плоскости, содержащей это множество. Пересечение (общая часть) любой совокупности выпуклых тел, если оно содержит внутренние точки, тоже является выпуклым телом.

Область (связное открытое множество) на границе выпуклого тела называется выпуклой поверхностью. Связная компонента границы выпуклого тела называется полной выпуклой поверхностью. Если исключить два тривиальных случая, когда выпуклое тело есть все пространство или область между двумя параллельными плоскостями, то полную выпуклую поверхность можно определить просто как границу выпуклого тела. Граница конечного выпуклого тела гомеоморфна сфере и называется замкнутой выпуклой поверхностью. Всякая полная выпуклая поверхность гомеоморфна либо плоскости, либо сфере, либо цилиндру. В последнем случае поверхность сама является цилиндром.

Подобно тому как в случае выпуклых плоских областей, для выпуклых тел вводится понятие опорной плоскости. Именно, плоскость , проходящая через граничную точку Х тела К, называется опорной в этой точке Х, если все точки тела расположены по одну сторону от плоскости , т.е. в одном из определяемых ею полупространств. Через каждую граничную точку выпуклого тела проходит по крайней мере одна опорная плоскость. Единичный вектор, перпендикулярный опорной плоскости и направленный в полупространство, не содержащее точек тела, называется внешней нормалью к этой опорной плоскости.

Выпуклое тело V, составленное из полупрямых, исходящих из точки S, называется выпуклым конусом; при этом исключается тот случай, когда тело V совпадает со всем пространством. Определяемое таким образом понятие выпуклого конуса содержит в себе как частный случай двугранный угол и полупространство. Поверхность выпуклого конуса обычно также называют выпуклым конусом. В указанных двух частных случаях говорят о вырождении конуса как поверхности в двугранный угол или плоскость.

С каждой точкой S границы выпуклого тела К естественным образом связывается некоторый конус V(S), образуемый полупрямыми, исходящими из точки S и пересекающими тело К по крайней мере в одной точке, отличной от S (рис.11).

Этот конус называется касательным конусом в точке S, а его поверхность - касательным конусом выпуклой поверхности, ограничивающей тело.

В зависимости от вида касательного конуса точки выпуклой поверхности подразделяются на конические, ребристые и гладкие. Именно точка Х выпуклой поверхности называется конической, если касательный конус V(X) в этой точке не вырождается. Если же касательный конус V(X) вырождается в двугранный угол или плоскость, то Х называется ребристой или соответственно гладкой точкой. Негладкие точки на выпуклой поверхности представляют собой в некотором смысле исключение. Именно, множество ребристых точек имеет меру нуль, а множество конических точек не более чем счетно.

Простейшим нетривиальным выпуклым телом является выпуклый многогранник - пересечение конечного числа полупространств. Поверхность выпуклого многогранника составлена из выпуклых плоских многоугольников и тоже называется выпуклым многогранником. Многоугольники, из которых составлена поверхность многогранника, называются гранями многогранника, их стороны - ребрами многогранника, а вершины - вершинами многогранника.

В теории выпуклых тел важную роль играет понятие выпуклой оболочки. Выпуклая оболочка множества М представляет собой пересечение всех полупространств, содержащих М. Следовательно, она является выпуклым множеством и притом наименьшим среди всех выпуклых множеств, содержащих М. Каждый выпуклый многогранник есть выпуклая оболочка своих вершин (конечных и бесконечно удаленных), и поэтому однозначно ими определяется.

Для последовательности выпуклых поверхностей определяется понятие сходимости. Говорят, что последовательность выпуклых поверхностей сходится к выпуклой поверхности F, если любое открытое множество G одновременно пересекает или не пересекает поверхность F и все поверхности при . Любую выпуклую поверхность можно представить как предел выпуклых многогранников или регулярных выпуклых поверхностей.

Бесконечные совокупности выпуклых поверхностей обладают важным свойством компактности, которое состоит в том, что из любой последовательности полных выпуклых поверхностей, не удаляющихся в бесконечность, всегда может быть выделена сходящаяся подпоследовательность с пределом в виде выпуклой поверхности, может быть, вырождающейся (в дважды покрытую плоскую область, прямую, полупрямую или отрезок).

Отметим весьма употребительное свойство сходимости опорных плоскостей сходящейся последовательности выпуклых поверхностей. Пусть - последовательность выпуклых поверхностей, сходящихся к выпуклой поверхности F, - точка на поверхности и - опорная плоскость в этой точке. Тогда, если последовательность точек сходится к точке Х поверхности F, и последовательность опорных плоскостей сходится к плоскости , то эта плоскость является опорной для поверхности F в точке Х. Отсюда, в частности, следует, что если последовательность точек на выпуклой поверхности F сходится к точке Х этой поверхности, и опорные плоскости в точках сходятся к плоскости , то эта плоскость будет опорной в точке Х.

Делись добром ;)