2. Бархистохрона
Допустимо, що крапки А и В (див. малюнок) зєднані тонкої, абсолютно гладкої, дротом, форма якої зображується кривій y = f(x). Нехай, далі, уздовж цій кривій вільно сковзає деякий вантаж під дією сили ваги. Тоді час, у яке цей вантаж досягне крапки В, буде залежати від форми кривої. Існує деяка крива, для якої вантаж досягне крапки В у найкоротший час.
Ця крива називається «брахистохроною». Завдання полягає в тім, щоб знайти форму цієї кривої.
Для рішення задачі необхідно знайти вираження, для кількості часу, затрачуваного на ковзання вантажу по будь-якому дроті. Зручніше за все використовувати для цього три закони з області механіки:
1) Потенційна енергія вантажу пропорційна його висоті над поверхнею землі. Фактор пропорційності дорівнює масі т, помноженої на прискорення сили ваги g.
2) Кінетична енергія тіла, що рухається, пропорційна квадрату швидкості. Фактор пропорційності дорівнює .
3) Сума потенційної й кінетичної енергії тіла постійна, якщо вони не повідомляють енергії деякому іншому тілу. Це положення зветься «принципу збереження енергії». У нашій задачі відсутні сили тертя, і значить вантаж не втрачає енергій при ковзанні уздовж дроту. Тому сума його кінетичної енергії й потенційної енергії mg( ) є величина постійна. Одержуємо рівняння:
де б-невідома постійна .
Далі, слід зазначити, що вантаж рухається увесь час у напрямку дотичної до дроту. Отже, v є швидкість, з якої проходиться дуга s, . Підставляючи це вираження в (1), знаходимо:
Отже, час шляху представляється інтегралом:
Виражаючи ds через х, одержуємо:
Це і є той інтеграл, мінімум якого ми повинні знайти. Нехай y = f(x) є рівняння шуканої кривої, а в = f(х) + ?(х) рівняння сусідньої кривої. Позначимо час руху уздовж цієї останньої кривої через t+dt, де
Потрібно інтегрувати член, що залежить від вроздріб, і взяти до уваги, що е зникає в кінцях інтервалу інтеграції. Після того, як це буде зроблено, підінтегральне вираження зведеться до добутку двох множників. Один з них є як і раніше є довільним. Тому що весь інтеграл повинен зникати, то звертається в нуль інший множник, що приводить до диференціального рівняння:
Можливо вирішити це рівняння після виконання зазначеного диференціювання, але виявляється простіше зробити це відразу для рівняння (3). Тому що процес інтеграції, що ми зараз застосуємо, виявляється корисним при рішенні практичних задач, то ми проведемо його крок за кроком.
Насамперед помітимо, що рівняння не містить х. Тому заміняємо еквівалентним йому символом . Збираючи всі члени, що містять , у ліву частину, приводимо рівняння до виду:
У лівій частині рівняння вираження, що стоє перед знаком майже дорівнює вираженню під знаком . Якби вони цілком збігалися, то ліва частина була б добутком функції на її похідну й інтеграл від лівої частини рівнявся б квадрату цієї функції. Множимо тому обидві частини рівняння на такий фактор, щоб зазначена умова була виконана.
Очевидно, що цей множник є:
У правій частині замість показника ввійде при цьому 2. Зробивши цю заміну, ми негайно ж можемо інтегрувати рівняння. Одержимо:
Це рівняння легко дозволити відносно ; одержимо в результаті:
звідки:
Обчислення цього інтеграла спрощується, якщо зробити заміну змінного:
при цьому інтеграл буде дорівнює:
Рівняння (4) і (5) визначають разом шукану брахистохрону у функції допоміжної змінної, або «параметра», ?. Якщо дамо цьому параметру приватне значення, можемо знайти значення х з рівняння (5), а відповідне значення y=f(x) з (4). Очевидно, що даючи ряд значень ?, ми одержимо ряд крапок на брахистохроні. Крива, що при цьому вийде, є циклоїда, зображена на малюнку. Можемо виключити ? з рівнянь (4) і (5) і одержати в такий спосіб криву у звичайній формі:
Але зручніше користуватися параметричними рівняннями (4) і (5), замість цього складного рівняння.
- Введення
- 2. Бархистохрона
- 3. Задача про брахистохрону з фіксованою абсцисою правого кінця
- 4. Задача про відстань до кривої
- 5. Геодезичні лінії на кривої поверхні
- 6. Задача про геодезичну лінію
- 7. Задача про криволінійну трапецію з найбільшою площею
- 8. Крива прогину гнучкої нерозтяжної нитки
- 9. Поверхня обертання найменшої площі
- 10. Задача Дидони
- Висновок
- 7.6. Геометричний метод рішення зцп
- Смо з очікуванням. Метод статистичних випробувань
- 1.2 Елементарні ланки та їхні тимчасові характеристики
- 1.5 Класифікація систем автоматичного керування
- 2.2 Моделювання процесів в сак
- Методичні вказівки.
- Ступені складності математичної моделі
- 9.Розв’язання звичайних диференційних рівнянь
- 3.1. Системи, що описуються звичайними диференціальними рівняннями