4. Задача про відстань до кривої

Задача. Серед гладких кривих Y = y(x), що починаються в крапці (а, А) і кінчаються на кривій L з рівнянням Y= Ф(x), знайти криву найменшої довжини, тобто знайти відстань від (а, А) до кривій L.

Рішення. Довжина s(y) кривій

Y = y(x), y(a) = A, y[ ?(?) ] = Ф[ ?, ? ]

визначається інтегралом

s(y)= .

Лагранжевими кривими в цьому випадку є, мабуть, прямі

.

Умова трансверсальності

приймає вид:

або

1 + = 0.

Отже, шукана пряма Y = y(x) повинна перетинати криву L ортогональне.

Із проведених міркувань також треба, що відрізок найменшої довжини, що зєднує криві й повинен бути ортогональним і к и к .