7. Задача про криволінійну трапецію з найбільшою площею

Задача. Серед кривих y, що зєднують крапки (a, A) і (b, B), де A, B>0, і які мають задану довжину l, > + ,знайти таку, щоб криволінійна трапеція, обмежена зверху цій кривій, мала найбільшу площу. Інакше кажучи, знайти максимум функціонала

s(y)=

при граничних умовах

y(a)=A, y(b)=B

і ізопериметричного звязку

=l.

Рішення. Допоміжна функція має в цьому випадку вид

.

Функціонал є спеціальним, тому що не містить x явно, тому варіаційне рівняння Ейлера для цього функціонала має перший інтеграл

або

y- .

Для інтегрування останнього рівняння введемо допоміжний параметр t, полога . Тоді

І тому dx= л cos t dt або x= л sin t+

Таким чином,

.

або

.

Екстремалями є окружності. Постійні звичайним образом визначається із граничних умов і изопериметрического звязку.

Задача розвязна, якщо дуга окружності довжини l, що зєднує крапки (a, A) і (b, B), не виходить зі смуги a x b.