Рішення геометричних задач з диференціальними рівняннями

курсовая работа

9. Поверхня обертання найменшої площі

Якщо дві крапки А и В (див. малюнок) звязані кривій y = f(x) і вся ця фігура обертається біля осі x, то крива утворить при цьому поверхня обертання.

Площа цієї поверхні залежить від форми кривої, тобто від форми функції f(x). Існує крива, що володіє тим властивістю, що її поверхня обертання має найменшу площу.

Завдання полягає в тім, щоб знайти рівняння цієї кривої. Тому що задача схожа на ті задачі аналізу, де доводиться відшукувати крапки максимуму або мінімуму кривій, то корисно нагадати міркування, за допомогою якого такі задачі вирішуються. Воно складається в основному із трьох кроків.

1) Абсциса мінімальної крапки передбачається спочатку відомої й позначається, наприклад, буквою х.

2) Відзначається, що пересування із крапки мінімуму в будь-якому напрямку збільшує функцію, інакше кажучи, що f(x+е) і f(x е) більше f(x).

3) Якщо ? дуже мало, те

f(x+е) f(x)+е f(x -- r) f(x) е.

Одне із цих виражень більше f(x), а інше менше, якщо тільки f (х) не звертається в нуль. Але в силу 2) цього бути не може, отже в крапці мінімуму похідна функція повинна зникати.

Звичайно, цього одного недостатньо. Нагадаємо, що умова 3) необхідно також для максимуму, і доти поки ми не розглянули другу похідну, не можна довідатися, що саме ми одержали.

Однак це все, що потрібно для наших цілей.

Ми вирішимо нашу задачу шляхом зовсім аналогічним.

1) Припускаємо, що шукана крива відома й що її рівняння є

y=f(x).

2) Якщо будемо міняти форму кривій довільно, те площа поверхні обертання повинна при цьому збільшуватися. Якщо позначити різниця між ординатами нової й старої кривих через ?(x), те нове рівняння буде:

y = f(x) + ?(x).

3) Можна показати, що якщо деяке диференціальне вираження не дорівнює нулю, то площа, описана кривій f(х)+е(х), буде більше площі, описаної кривій f(x), а площа, описана кривій f(х) е(x), буде менше цієї останньою. Звідси диференціальне вираження повинне зникати. Це приводить до диференціального рівняння, рішення якого визначає шукану криву.

Після того як ми намітили в такий спосіб нашу задачу, приступимося до детального проведення третього кроку. Насамперед потрібна написати вираження для площі поверхні обертання. Це - проста задача аналізу, відповіддю на яку служить вираження:

Замінимо тепер y = f(x) нової кривої

y = f(x) + ?(x).

При обертанні цієї кривої одержимо площу:

Якщо ? є мала зміна в, і обрано так, що ? теж мало, те

а отже:

Члени, не написані в (1), містять ступеня ? порядку вище першого й можуть бути тому відкинуті. Якщо dA не дорівнює нулю, то воно міняє знак при зміні знака е. Це означає, що площа поверхні обертання для новій кривій менше, ніж для самої кривої, що, звичайно, суперечить припущенню, що вона давала найменшу площу. Звідси dA повинне звертатися в нуль.

Рівняння (1) є в деякому змісті еквівалентним вираженню еf(х) для випадку аналізу. Однак між ними є істотна різниця. У диференціальному вирахуванні е входить тільки множником, і тому добуток міг рівнятися нулю тільки при зникненні другого множника. Для рівняння (1) у цій його формі ми не можемо цього затверджувати. Воно повинне бути так змінено, щоб зникло . Насамперед наш інтеграл складається із двох частин, одна йз яких містить е, а інша .

Залишаємо перший інтеграл без зміни, а другий інтегруємо вроздріб:

Тому що умови задачі вимагають, щоб кожна інтегральна крива проходила через крапки А и В, те ?(х) повинне зникати для обох меж інтеграції. Тому перший член правої частини рівності (2) звертається в нуль. Підстановка члена, що залишився, у рівняння (1) дає шукану необхідну умову мінімуму у вигляді:

Тепер, як у випадку диференціального вирахування еf(x), підінтегральна функція складається із двох множників: е(x), що довільно, і вираження в дужках, що містить тільки f(x) і її похідні. Так само як і у випадку задачі диференціального вирахування, останні фактор повинен звернутися в нуль. Дійсно, припустимо зворотне. Тоді в деяких інтервалах між воно негативно, в інших позитивно. Тому що е(х) довільна функція , то вона може бути обраний позитивної там, де інший множник негативний, і негативної в інших крапках. Тоді (3) буде негативним і площа поверхні зменшиться. Отже, ми доходимо висновку, що шукана крива y = f(x) повинна задовольняти диференціальному рівнянню:

Рівняння це настільки просто, що його рішення надаємо читачеві. Слід зазначити, що це рівняння другого порядку й тому може задовольняти двом граничним умовам. Тому що в задачі даються саме дві граничних умови-крапки А й В, - те наш результат цілком відповідає поставленій задачі.

Делись добром ;)