4. Побудова фундаментальної матриці рішень методом Ейлера
Метод Ейлера полягає в наступному.
Рішення системи (1) перебуває у вигляді:
(5)
Функція (5) є рішенням системи (1), якщо - власне значення матриці А, а а - власний вектор цієї матриці, що відповідає числу .
Якщо власні значення 1, 2, …,n матриці А попарно різні й a1, a2, …, an відповідні власні вектори цієї матриці, то загальне рішення системи рівнянь (1) визначається формулою:
де З1, З2, …, Сn - довільні числа.
Для випадку кратних корінь рішення системи приймає вид
(6)
де Pi (x) - поліноми ступеня не вище, ніж (до-1), що мають у сукупності до довільних коефіцієнтів. Так що серед коефіцієнтів цих поліномів до коефіцієнтів є довільними, а залишилися до·n-k выражаются через них. Якщо для кратного власного значення матриці А є стільки лінійно незалежних власних векторів , яка його кратність, то йому відповідає k незалежних рішень вихідної системи:
Якщо для власного значення кратності k є тільки m (m<k) лінійно незалежних власних векторів, то рішення, що відповідають , можна шукати у вигляді добутку векторного багаточлена ступеня k - m на , тобто у вигляді:
Щоб знайти вектори , треба підставити вираження (4) у систему (3). Дорівнявши коефіцієнти подібних членів у лівій і правій частинах системи, одержимо рівняння для знаходження векторів .
Для даного завдання минулого знайдені наступні власні значення:
.
Побудували фундаментальну систему рішень:
Знайдемо 1 рядок фундаментальної матриці рішень для характеристичного числа . Запишемо третій рядок рішень у загальному виді:
Де аij знайдемо по вираженню:
або
Отримана матриця:
Вирішуємо систему:
Отриманих корінь:
Тоді перший рядок буде мати вигляд:
Аналогічно знайдемо другий рядок фундаментальної матриці рішень для першого характеристичного числа - 1. Отримані значення:
Тоді другий рядок буде мати вигляд:
Знайдемо третю й четверту рядки фундаментальної матриці рішень для першого характеристичного числа . Сполучений корінь не породжує нових речовинних лінійно незалежних приватних рішень.
Отримані значення:
Відокремлюючи в ньому речовинні й мнимі частини, одержимо два речовинних рішення, які й становлять першу й другу рядки фундаментальної матриці рішень
Аналогічно інші 3:
Запишемо знайдену фундаментальну матрицю рішень:
Помножимо транспоновану фундаментальну матрицю рішень на вектор вільних коефіцієнтів і одержимо вектор загального рішення вихідної системи:
Зробимо перевірку знайденого рішення в такий спосіб:
Одержуємо нульову матрицю-стовпець:
що показує, що загальне рішення знайдене вірно.
- 1. Введення
- 2. Постановка задачі
- 3. Знаходження власних чисел і побудова ФСР
- 4. Побудова фундаментальної матриці рішень методом Ейлера
- 5. Знаходження наближеного рішення у вигляді матричного ряду
- 6. Побудова загального рішення матричним методом
- 7. Задача Коші для матричного методу
- 8. Рішення неоднорідної системи
- Графіки
- Висновок
- 5.2. Представлення системи лінійних однорідних рівнянь
- 3. Системи лінійних рівнянь алгебри
- Тема: Рішення систем лінійних рівнянь
- Тема iІ. Чисельне рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь 18
- 1.2.2 Системи лінійних рівнянь та методи їх вирішення
- 1. Символьне рішення систем рівнянь
- Системи лінійних рівнянь
- Системи лінійних рівнянь