Графічне рішення рівнянь і нерівностей з модулем

Рішення рівнянь, що містять знак абсолютної величини часто набагато зручніше вирішувати не аналітично, а графічно (особливо рівняння утримуючі параметри).

Побудова графіків виду

, і

Відзначимо правило побудови графіка функції .

1) Будуємо спочатку графік функції .

2) Там, де графік функції лежить вище осі або на ній, залишаємо його без зміни; крапки графіка, які лежать нижче осі , заміняємо симетричними їм щодо осі крапками.

Для приклада, на малюнку зображений графік функції

.

Для побудови графіка функції будуємо графік функції для й відображаємо симетрично щодо осі .

Для приклада, на малюнку зображений графік функції .

Для побудови графіка функції будуємо графік функції для й симетрично відображаємо щодо осі .

Для приклада, на малюнку зображений графік функції .

Приклад Побудувати графік функції .

Рішення. Скористаємося правилами перетворення графіків.

1. Графік функції --- бісектриса перших і третього координатних кутів.

2. Графік функції виходить із графіка функції відображенням його частини, розташованої нижче осі абсцис (при ) симетрично щодо осі абсцис.

3. Графік функції виходить із попереднім зрушенням уліво по осі абсцис на дві одиниці.

4. Отриманий графік зрушуємо по осі ординат на 3 одиниці долілиць. Одержуємо графік функції .

5. Частина його, розташовану нижче осі абсцис, відображаємо симетрично щодо цієї осі. Отже, одержуємо графік даної функції

Досліджувана функція допускає іншу форму запису

Приклад Залежно від параметра , знайти кількість рішень рівняння

Рішення. Побудуємо графік функції (див. мал).

Залежно від положення прямої , одержуємо наступне: при немає корінь, при --- нескінченно багато корінь, при --- чотири корені, при --- три корені, при --- два корені.

Приклад Доведіть, що на графіку функції можна відзначити таку крапку , а на графіку функції --- таку крапку , що відстань не перевищує .

Рішення. Покладемо . Крапка з координатами , де, мабуть, лежить на графіку функції .

Розглянемо позитивне число . Тоді , отже, крапка з координатами лежить на графіку функції .

Відстань між крапками й дорівнює . Але з рівності треба, що

, , .

Приклад На координатній площині зобразите всі крапки, координати яких є рішеннями рівняння:

.

Рішення.

або .

Відповідь. см. малюнок

Приклад Даний функція . Скільки рішень має рівняння ?

Рішення. Нехай --- рішення рівняння , а . Тоді й , а тому крапка з координатами лежить на кожному із графіків і . Навпаки, якщо крапка лежить на перетинанні цих графіків, те й , звідки . Тим самим показане, що число рішень рівняння збігається із числом крапок перетинання графіків і , а їх 16.

Відповідь. 16.

Графіки функцій, що містять лінійні вираження під знаком абсолютної величини

Сформулюємо твердження, що дозволяє будувати графік алгебраїчної суми модулів, не розкриваючи модулі (це особливо зручно, коли модулів багато).

Теорема Алгебраїчна сума модулів лінійних виражень, графік якої складається із прямолінійної ділянки. Тому графік може бути побудований по крапках, з яких являють собою корінь внутрімодульних виражень, ще одна --- довільна крапка, з абсцисою менше найменшого із цих корінь, і остання --- з абсцисою, більшої найбільшого із цих корінь.

Зауваження. Аналогічно можна будувати графіки виду

.

Приклади побудови графіків

1. . Обчислюємо значення функції в крапках 1, 0 і 2, одержуємо графік, що складається із двох променів.

2. . Обчислюючи значення функції в крапках з абсцисами 1, 2, 0 і 3, одержуємо графік, що складається з відрізка й двох променів (див. мал. ).

3. .

Для побудови графіка ``по відрізках обчислимо значення функції в крапках 1, 2, 3, 0, 4 (див. мал. ).

4. .

Графік різниці модулів будуватися аналогічно (див. мал. ).

Аналізуючи вид графіків 1, 2 і 3, можна припустити, а потім і довести, що сума модулів лінійних виражень виду

досягає свого найменшого значення або в єдиній крапці, якщо число модулів парно, або у всіх крапках деякого відрізка, якщо число модулів парно. Графік суми непарного числа модулів лінійних виражень має форму клина, а графік суми парного числа модулів має ділянка паралельний осі абсцис. Більш точно:

Теорема Нехай корінь подмодульных виражень упорядковані по зростанню . Тоді якщо число що складаються непарно й , те найменше значення функції досягається в крапці , а якщо число що складаються парно й , те найменше значення функції досягається у всіх крапках відрізка .

Використовуємо твердження для рішення задачі, що пропонувалася на одній з олімпіад Санкт-Петербурзького державного університету.

Приклад Залежно від значення параметра , знайти кількість корінь рівняння

Рішення. Вирішимо задачу графічно. Нехай , визначимо кількість крапок перетинання графіка функції й прямій залежно від . Виходячи зі сформульованого вище твердження, графік функції буде мати ділянку, паралельна осі абсцис. Помітимо, що абсциси крапок цієї ділянки становлять відрізок , і у всіх його крапках функція досягає найменшого значення, рівного, наприклад, , причому

Оскільки зазначена сума являє собою подвоєну арифметичну прогресію з першим членом 1, останнім членом 999, складену із числом 1000, то вона дорівнює

Тоді при рівняння не буде мати рішень, при них буде нескінченно багато, а при рівняння буде мати два рішення.