2. Определения понятия фрактал

Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа- Безиковича которого строго больше его топологической размерности.

Это определение в свою очередь требует определений терминов множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича (D) и топологическая размерность (DT), которая всегда равна целому числу. Для наших целей мы предпочитаем весьма нестрогие определения этих терминов и наглядные иллюстрации (с использованием простых примеров), а не более строгое, но формальное изложение тех же понятий. Мандельброт сузил свое предварительное определение, предложив заменить его следующим: Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому.

Строгого и полного определения фракталов пока не существует. Дело в том, что первое определение при всей правильности и точности слишком ограничительно. Оно исключает многие фракталы, встречающиеся в физике. Второе определение содержит существенный отличительный признак, фрактал выглядит одинаково, в каком бы масштабе его ни наблюдать.

Таким образом, можно обобщить понятие фрактала до следующего:

Фрактал (лат. fractus - измельченный, дробный) - термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, строго большую топологической.

Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими-либо из перечисленных ниже свойств:

1.Обладает нетривиальной структурой на всех шкалах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведет к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.

2.Является самоподобной или приближенно самоподобной.

3.Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

4.Может быть построена при помощи рекурсивной процедуры(в которой имеется обращение к самой себе).

Объект который подчиняется всем выше сказанным свойствам называется фрактальным.

2.1 Определение понятия фрактальной размерности

Фракталы, можно рассматривать как множества точек, вложенные в пространство. Например, множество точек, образующих линию в обычном евклидовом пространстве, имеет топологическую размерность DT = 1 и размерность Хаусдорфа - Безиковича D = 1. Евклидова размерность пространства равна Е -- 3. Так как для линии D = DT линия, согласно определению Мандельброта, не фрактальна, что подтверждает разумность определения. Аналогично множество точек, образующих поверхность в пространстве с Е = 3, имеет топологическую размерность Dr = 2 и D -- 2. Мы видим, что и обычная поверхность не фрактальна независимо от того, насколько она сложна. Наконец, шар, или полная сфера, имеет D = 3 и DT = Центральное место в определении размерности Хаусдорфа - Безиковича и, следовательно, фрактальной размерности D занимает понятие расстояния между точками в пространстве.

Размерность Хаусдорфа -- естественный способ определять размерность множества в метрическом пространстве. Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда эти обычные представления есть.

Определение: Пусть Щ -- ограниченное множество в метрическом пространстве X.

е - покрытия: Пусть б>0. Не более чем счетный набор подмножеств пространства X будем называть е - покрытием множества Щ, если выполнены следующие два свойства:

1)

2) для любого диаметр щi меньше е.

б-мера Хаусдорфа

Пусть б > 0. Пусть -- покрытие множества Щ. Определим следующую функцию, в некотором смысле измеряющую «размер» этого покрытия: Обозначим через «минимальный размер» е -покрытия множества Щ: , где инфимум берется по всем е -покрытиям множества Щ. Очевидно, что функция убывает по е. Следовательно, у нее есть конечный или бесконечный предел при Величина называется б-мерой Хаусдорфа множества Щ

Свойства б-меры Хаусдорфа

- б-мера Хаусдорфа является борелевской мерой на X.

- с точностью до умножения на коэффициент: 1-мера Хаусдорфа для гладких кривых совпадает с их длиной; 2-мера Хаусдорфа для гладких поверхностей совпадает с их площадью; d- мера Хаусдорфа множеств в совпадает с их d-мерным объемом.

- убывает по б. Более того для любого множества Щ существует критическое значение б0, такое, что:

- = 0 для всех б > б0

- для всех б < б0

Значение может быть нулевым, конечным или бесконечным.

Определение размерности Хаусдорфа

Размерностью Хаусдорфа множества Щ называется число б0 из предыдущего пункта.

Свойства размерности Хаусдорфа

- Размерность Хаусдорфа любого множества не превосходит нижней и верхней размерностей Минковского.

- Размерность Хаусдорфа не более чем счетного объединения множеств равна макcимуму из их размерностей. В частности, добавление счетного множества к любому множеству не меняет его размерности.

- Для самоподобных множеств размерность Хаусдорфа может быть вычислена явно. Неформально говоря, если множество разбивается на n частей, подобных исходному множеству с коэффициентами , то его размерность s является решением уравнения . Например, размерность множества Кантора равна ln2 / ln3 (разбивается на две части, коэффициент подобия 1/3), а размерность треугольника Серпинского -- ln3 / ln2 (разбивается на 3 части, коэффициент подобия 1/2).