§2. Общие сведения об отражающей функции

Рассмотрим систему

,

cчитая, что правая часть которой непрерывна и имеет непрерывные частные производные по . Общее решение в форме Коши обозначим через ). Через обозначим интервал существования решения .

Пусть

Отражающей функцией системы назовём дифференцируемую функцию , определяемую формулой

Для отражающей функции справедливы свойства:

для любого решения системы верно тождество

для отражающей функции любой системы выполнены тождества

дифференцируемая функция будет отражающей функцией системы тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений в частных производных

и начальному условию

Совокупность условия и начального условия назовём основным соотношением для отражающей функции.

Как известно, в большинстве случаев система дифференциальных уравнений не может быть проинтегрирована в элементарных функциях или в квадратурах. Это вынуждает исследовать решения системы по самим дифференциальным уравнениям.

Знание отражающей функции системы позволяет решать вопросы существования, количества и начальные данные периодических решений системы.

Поскольку у разных дифференциальных систем может быть одна и та же отражающая функция, то с помощью отражающей функции можно заменить одну дифференциальную систему на качественно ей эквивалентную и более простую другую дифференциальную систему.

Пример.

Уравнение Рикатти имеет отражающую функцию . Такую же отражающую функцию имеет и уравнение , которое значительно проще интегрируется в замкнутом виде, а значит проще и исследование свойств решений данного условия.

Приведём более точное понятие эквивалентности, в смысле совпадения отражающих функций, дифференциальных систем.

Эквивалентные системы.

Рассмотрим класс систем

считая, что её правая часть непрерывно дифференцируемая. Будем говорить, что множество систем вида образует класс эквивалентности, если существует дифференцируемая функция со свойствами:

отражающая функция любой системы из рассматриваемого множества совпадает в области определения с функцией ;

любая система вида , отражающая функция которой совпадает в области с функцией , содержится в рассматриваемом множестве.

Две системы вида , принадлежащие одному классу эквивалентности, будем называть эквивалентными. Допуская определённую вольность речи, будем говорить также, что они имеют одну и ту же отражающую функцию. Функцию при этом будем называть отражающей функцией класса, а класс - соответствующим отражающей функции .

Для построения систем имеющих одну и ту же отражающую функцию можно воспользоваться теоремой:

Лемма 2.1 Для всякой непрерывно-дифференцируемой функции , для которой выполнены тождества , имеют место соотношения

Доказательство. Продифференцируем тождество по и по . Получим тождества

из которых следует неравенство и тождества и .

Лемма доказана.

Теорема 2.1. Пусть есть отражающая функция некоторой дифференциальной системы с непрерывно дифференцируемой правой частью, а для дважды непрерывно дифференцируемой функции выполнено

Тогда, для того, чтобы в области функция совпадала с , необходимо и достаточно, чтобы рассматриваемая система имела вид:

где есть некоторая непрерывно дифференцируемая вектор-функция.

Доказательство. Необходимость. Пусть есть отражающая функция некоторой системы и пусть совпадает с .

Положим

Тогда используя тождества и . и основное соотношение для отражающей функции , получим тождества

из которых следует, что всякая система, для которой есть отражающая функция, может быть записана в виде .

Достаточность. Пусть в системе есть такая функция, для которой решение системы однозначно определяется своими начальными данными. Тогда, в чём можно убедиться подстановкой, выполняется основное соотношение для отражающей функции . Поэтому, согласно третьему свойству отражающей функции, функция является отражающей функцией системы .

Теорема доказана.

Т.о. варьируя вектор-функцию мы получим все системы имеющие заданную отражающую функцию.

У эквивалентных систем одинаковое количество периодических решений, т.к начальные данные периодических решений определяются из уравнения , где половина периода правой части соответствующих дифференциальных систем.

Пусть известно, что системы и

принадлежат одному классу эквивалентности, и пусть одна из этих систем, скажем, система является периодической. Тогда если решения и систем и соответственно продолжимы на отрезок , то , хотя система может быть непериодической. Откуда следует

Теорема 2.2. Пусть система с периодической по правой частью и система принадлежат одному классу эквивалентности, а их решения существуют при всех . Тогда между периодическими решениями системы и решениями двухточечной задачи для системы можно установить взаимооднозначное соответствие.

Уравнения

например, принадлежат одному классу эквивалентности с отражающей функцией . Единственное периодическое решение

первого уравнения соответствует единственному решению задачи второго уравнения.