4. Теоремы сравнения рядов

Пусть даны два положительных ряда

, где , (А)

, где . (B)

Теорема 3. Признак сходимости положительных рядов. Если для , то из сходимости ряда (А) следует сходимость ряда (В), а из расходимости ряда (В) следует расходимость ряда (А).

Доказательство. 1) Пусть ряд (А) сходится, доказывается, что сходится и ряд (В).

Обозначили последовательность частичных сумм ряда (А), а - ряда (В). Так как ряд (В) сходится, то . Из условия следует, что , отсюда следует, что ограничено сверху, а, значит, подпоследовательность частичных сумм имеет конечный предел, т. е. ряд (В) сходится.

2) Пусть ряд (В) расходится, доказывается, что расходится и ряд (А).

Из расходимости ряда (В) следует, что монотонно возрастающая последовательность частичных сумм , т. е. . И так как , то из предельного перехода в неравенстве получается, что , т. е. ряд (А) так же расходится.

Замечание 2. Если условия выполняется, начиная с некоторого номера, то признак сходимости остается в силе.

Замечание 3. Теорема 3 носит название «признак сравнения I».

Теорема 4. Если, хотя бы начиная с некоторого места (например, для ), выполняется неравенство:

, где,(4)

то из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А), а из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (В).

Доказательство. Не умаляя общности, можно считать, что неравенство (4) справедливо для всех значений В таком случае имеет место:

Перемножив почленно эти неравенства, получится:

Пусть ряд (В) сходится; вместе с ним сходится ряд , полученный умножением его членов на постоянный множитель , а тогда, по признаку сравнения I, сходится и ряд (А), и т. д.

Примеры. Исследовать на сходимость ряды:

.

Данный ряд сравнивается с рядом , который сходится, как геометрический ряд со знаменателем меньше 1. Поскольку , то, по признаку сравнения I, сходится и данный ряд.

.

Данный ряд сравнивается с гармоническим рядом , который расходится. Так как , то, по признаку сравнения I, сходится и данный ряд.

7) .

Его сравнивали с рядом , который, очевидно, расходится. Обозначив , составили для них выражения:

Поскольку и ряд расходится, то, по теореме 4, расходится и данный ряд.