1.2.1 Задачі на уявлювані побудови

У шкільній практиці виділяють найчастіше два види завдань на побудови в просторі: завдання на уявні (умовні ) побудови та завдання на ефективні побудови. До задач на побудову відносяться і завдання на поверхні тіл. Однак у практиці шкільної математичної освіти вони практично не зустрічаються.

Для побудов в планіметрії використовуються креслярські інструменти ( циркуль і лінійка ) . З їх допомогою ми насправді можемо виконувати всілякі побудови . Наприклад , відомо , що пряма і коло на площині перетинаються в двох точках , якщо відстань від прямої до центру кола менше її радіусу. Ці точки ми можемо знайти реально , провівши з центру О коло даного радіуса і на заданій відстані від точки О прямі.

Але як у просторі здійснити побудову , наприклад , перетину сфери з площиною ? Не існує реальних інструментів для побудови сфери з даної точки даного радіуса або площини, що проходить , наприклад , через пряму і не належну їй точку. Тому при вирішенні завдань на побудову в просторі доводиться обмежуватися мисленим проведенням прямих, площин, сфер, тобто мова йде про так звані уявні побудови. У них йдеться про принципову можливість виконати деякі реальні побудови: через дану точку простору провести площину, паралельну даній площині - побудувати стелю, паралельну підлозі; через дану точку простору провести пряму, перпендикулярну даній площині - повісити лампочку на шнурі, перпендикулярно до стелі.

Під завданнями на ефективні побудови розуміються завдання на побудови на проекційному рисунку. "...На таких завданнях можна ефективно вирішувати завдання з просторовими фігурами, фактично будуючи на кресленні шукані елементи і виробляючи необхідні операції, майже зовсім так, як це мало б виконуватися в самому просторі" [22, с. 6]. Такі побудови здійснюються з урахуванням аксіом і теорем стереометрії та правил зображень, наприклад , побудова перерізів багатогранників та інших тіл.

У шкільних підручниках зі стереометрії задачі на побудову в уяві представлені у вигляді теорем існування (наприклад , через будь-яку точку простору проходить пряма , перпендикулярна до даної площини, і притому тільки одна) і завдань (наприклад , побудувати пряму перетину двох площин, де кожна задана двома даними прямими і даною точкою).

У процесі вирішення завдань на побудову в уяві встановлюється лише факт існування шуканої фігури, сама ж побудова не виконується. За ідеєю методу елементи, зумовлені умовою задачі, не задаються ні безпосередньо в просторі, ні на плоскому рисунку, а утримуються в уяві. Рішення задачі зводиться до перерахування такої сукупності геометричних операцій, фактичне виконання яких (у разі, якщо їх можна було б виконати) призводить до побудови шуканого елемента. Завдання вважається вирішеним, якщо удається відшукати розглянуту сукупність побудов.

Таким чином, для побудов в просторі, як і на площині, характерна алгоритмічність. Це означає, що шукана побудова зводиться до кінцевого числа послідовно здійснюваних кроків. У планіметрії рішення задачі на побудову має як би дві сторони: теоретичну Ї алгоритм побудови і практичну Ї реалізацію цього алгоритму, наприклад, циркулем і лінійкою.

У стереометричних задач на побудову лише одна сторона Ї теоретична, так як немає інструментів для побудови в просторі, аналогічних для циркуля і лінійки.

Креслення при вирішенні в уяві задач на побудову може не виконуватися. При викладі рішення з однаковим правом можна вживати слова: "визначає", "існує", "задає", "будуємо", "проводимо" та ін. З метою наочності викладу, для полегшення роботи уяви необхідні побудови звичайно все ж супроводжуються ілюстративними кресленнями, які відіграють допоміжну роль.

Приклад. Через точку, що лежить поза площиною, провести площину, паралельно даній площині.

Нехай задана площина б і точка А поза площиною (рис. 1. 11).

Рис. 1.11

Рішення.

1. У площині б проведемо дві прямі a і b, що перетинаються.

2. У площині, заданої прямої а і точкою А, через точку А проведемо пряму , паралельну прямій а.

3. У площині, що задана прямою b і точкою А, через точку А проведемо пряму , паралельну прямій b.

4. Дві прямі і , що перетинаються, задають площину в, паралельну площині б (за ознакою паралельності двох площин).

Завдання завжди має єдине рішення (доведення наводиться в шкільних підручниках стереометрії).

Вирішення цього завдання можна провести без опори на наочність (малюнок), наприклад , так:

1. У заданій площині проведемо дві прямі, що перетинаються.

2. У площині, яка визначається однією з цих прямих і даною точкою, через цю точку проведемо пряму, паралельну даній прямій.

3. У площині, яка визначається другою прямою і заданою точкою, через цю точку проведемо пряму, паралельну даній прямій.

4. Дві пересічні прямі, що проходять через дану точку, визначають єдину площину, паралельну заданій площині ( за ознакою паралельності двох площин).

Зрозуміло, що без опори на наочність (фізичні моделі, малюнки) навіть готове рішення сприймається важче, не кажучи вже про його пошук. У тому й особливість завдань на уявні побудови, що вони є не тільки прекрасним засобом розвитку просторової уяви, а й показником його рівня.

З розглянутого прикладу видно, що ми ведемо міркування за умови, що вважаємо площину заданою, якщо задані дві пересічні прямі, пряма і точка поза нею і т. п. Подібна ситуація спостерігається і при вирішенні планіметричних задач на побудову. На площині задачі на побудову за допомогою циркуля і лінійки вирішувалися з опорою на такі умови ("постулати побудови"):

1. Через будь-які дві дані точки можна провести пряму (можливість використання лінійки ) .

2. З будь-якого центру можна описати коло будь-яким радіусом (можливість застосування циркуля).

Для побудов в просторі приймаються такі умовні угоди ("постулати побудови") [1, с. 45]:

1. Якщо задана фігура, то про кожну точку простору можна сказати, чи належить вона цій фігурі або не належить. Іншими словами, можна вибирати в просторі точки, які належать даній фігурі, так і не належать їй.

2. Якщо побудовано дві фігури, то вважається побудованим їх перетин (наприклад , пряма при перетині двох площин або коло, при перетині сфери і площини).

3. Якщо дано дві точки, то через них можна провести пряму.

4. Якщо дано три точки, то через них можна провести площину. І точно так можна провести площину через пряму та точку і через дві пересічні або паралельні прямі.

5. На кожній площині можна проводити будь-які побудови планіметрії.

При вирішенні тієї чи іншої задачі на уявні побудови не завжди доводять міркування до цих пяти основних, первинних побудов, а посилаються на вже відомі (як при доказі теорем посилаються не тільки на аксіоми, але і на вже доведені теореми).

Розглянемо приклад вирішення задачі на уявлювані (умовні ) побудови.

Задача 1.1.

Побудувати біссектор даного двогранного кута. Біссектор - напівплощина, обмежена ребром даного двогранного кута і ділить цей кут навпіл.

Рис. 1.12

Рішення.

Нехай дано двогранний кут б з гранями б і в (рис.1. 12).

Аналіз:

1. Нехай біссектор г цього кута побудований. Значить, ребро а цього двогранного кута належить півплощині г. Знайдемо спосіб побудови ще однієї прямої цієї півплощини.

2. Проведемо площину д, перпендикулярну прямій а. Нехай М Ї точка перетину площини д з ребром а.

3. Тоді площина д перетне півплощини б, в і г відповідно по променям , і . Кожен з променів , і перпендикулярний прямій а, оскільки всі вони лежать у площині д і а перпендикулярна площині д.

4. Тоді Ї лінійний кут двогранного кута, утвореного півплощинами б і г , Ї лінійний кут двогранного кута, утвореного півплощинами б і в, .

5. Оскільки (г Ї біссектор двогранного кута, утвореного півплощинами б і в), то, тобто - бісектриса . Таким чином, напівплощина г задається прямою а і променем .

Побудова:

Рис. 1.13

1. Виберемо довільно точку A на ребрі а двогранного кута (рис. 1.13).

2. Побудуємо в точці A лінійний кут KAN даного двогранного кута .

3. Проведемо бісектрису AM кута KAN

4. Напівплощина г, задана прямою а і променем AM - біссектор двогранного кута a.

Доведемо це. Виберемо довільну точку X , що належить площині г. Доведемо, що точка X належить біссектору двогранного кута а, тобто X належить біссектору відповідного лінійного кута:

1. З точки X опустимо перпендикуляр XB на пряму а;

2. Побудуємо в точці B лінійний кут даного двогранного кута а;

3. Доведемо, що :

а ) (як лінійні кути двогранного кута з ребром а і гранямиа б і г);

б) (як лінійні кути двогранного кута з ребром а і гранями в і г;

в) оскільки (AM - бісектриса ), то , що й потрібно було довести.

При вирішенні завдань на уявні побудови часто використовується той факт, що біссектор двогранного кута є множиною точок рівновіддалених від його граней. Для цього доведення з довільної точки X біссектора г ( рис. 1. 13 ) опустимо перпендикуляри ХЕ і XF на грані б і в двогранного кута а. Площина , перпендикулярна кожній з граней двогранного кута, оскільки ця площина перпендикулярна ребру а цього двогранного кута ( Ї лінійний кут даного двогранного кута). Тоді основи E і F перпендикулярів XE і XF лежать відповідно на променях і . Трикутники BXE і BXF рівні за гіпотенузою і гострим кутом, отже, ХЕ = XF, тобто довільна точка біссектора рівновіддалена від граней двогранного кута.

При вирішенні задач на побудову в уяві при необхідності слід проводити аналіз умови задачі, доведення і дослідження рішення. Аналіз проводиться з метою відшукання рішення задачі. На наш погляд , щоб не знижувати інтерес учнів до вирішення завдань на побудову варто проводити аналіз тільки в тому випадку, якщо в ньому є необхідність. А ось на доведення того, що побудовано шукана множина точок, і на дослідженні рішень слід загострювати увагу учнів.

Задача 1.2 На прямій АВ знайти точки, рівновіддалені від двох даних пересічних площин.

Рішення.

Рис. 1.14

Нехай б?в= а (рис. 1. 14 ).

1.Множиною точок, рівновіддалених від двох даних площин б і в будуть дві взаємно перпендикулярні площини г і д, які є біссекторами двогранних кутів, утворених цими площинами .

2. Перетин площин г і д з прямою АВ і дасть шукану множину точок. Як бачимо, проведення аналізу для відшукання вирішення цього завдання нам не було потрібно.

Вище доведено, що біссектор двогранного кута є множиною точок, рівновіддалених від його граней, тому точки перетину площин г і д з прямою АВ будуть рівновіддалені від двох даних пересічних площин б і в .

Дослідження.

1. Якщо пряма АВ паралельна прямій а перетину площин б і в (а не збігається з АВ) і не належить жодній з площин г і д, то не існує на прямій АВ точок, рівновіддалених від площин б і в, оскільки пряма АВ не перетинається ні з однією з площин г або д.

2. Існує єдине рішення (єдина точка), якщо:

а) пряма АВ не належить жодній з площин г і д і перетинається з прямою а;

б) пряма АВ паралельна одній , але не паралельна і не належить іншій з біссекторних площин г і д.

3. Існує дві точки на прямій АВ, рівновіддалені від площин б і в , якщо АВ перетинає кожну з площин г і д і не перетинає пряму а .

4. Завдання має незліченну безліч рішень, якщо пряма АВ належить хоча б одній з площин г або д.

Базові задачі на уявні побудови

Як і для планіметричних задач на побудову для задач на побудову в уяві виділяють основні (базові) завдання, тобто завдання, які часто є складовою частиною інших більш складних завдань. До таких завдань можна віднести наступні:

1. Через дану точку А, що лежить поза даною прямою а, провести пряму, паралельну прямій а.

2. Побудувати пряму, яка проходить через дану точку А і паралельна даній площині б, А .

3 . Через дану точку А провести пряму, що перетинає дві дані перехресні прямі а і b.