2.1 Короткий історичний огляд розвитку аксіоматичного методу

Починаючи з III ст. до н.е. протягом двох тисяч років зразком викладу геометричного матеріалу були «Початки» Евкліда, зміст яких брався за основу написання підручників з геометрії для різних навчальних закладів.

Перший у Росії підручник під назвою «Генеральна геометрія» був виданий у 1765 р. Н.Г. Курчановим, учнем Л.Ф. Магницького. Цей підручник складався з трьох розділів: лонгіметрія, в якому розглядались суміжні та вертикальні кути, ознаки паралельності прямих та ін.; планіметрії і стереометрії.

Дещо пізніше російські педагоги Е.М. Головін, С.Е. Гурєв, Т.Д. Осиповський, Ф.І. Буссе видали ряд підручників з геометрії для гімназій, реальних училищ та інших середніх навчальних закладів. Ці підручники вже складались з двох традиційних розділів - планіметрії і стереометрії. Особливо популярним був підручник «Елементарна геометрія в обсязі гімназичного курсу» професора Московського університету А.Ю.Давидова, цей підручник багаторазово видавався з 1864 р. по 1922 р.

Заслуженою популярністю користувався підручник з геометрії для середньої школи А.П. Кисельова, виданий вперше в кінці XIX ст. Тривалий час в школах України геометрію вивчали за цим підручником. У вступі до планіметрії були сформульовані основні властивості площини і прямої. Тут же наведені три аксіоми з «Початків» Евкліда. Доведення планіметричних тверджень проводилось далі без посилання на ці аксіоми (в основному використовувався метод накладання). У стереометрії А.П. Кисельова сформульовані три властивості площини, названі теж аксіомами, які частково використовувались при доведенні теорем. Про яку-небудь систему аксіом, аксіоматичний методу підручнику А.П. Кисельова не йдеться.

Суть аксіоматичного методу побудови геометрії, короткий зміст «Початків» Евкліда і систему аксіом Д.Гільберта викладено в додатках «Про аксіоми геометрії» професора Н.Д. Глаголєва до стереометрії А.П. Кисельова. У 70-ті роки минулого століття в школах України (як і в інших республіках СРСР) планіметрія вивчалась за навчальним посібником, створеним авторським колективом під керівництвом академіка А.М. Колмогорова (А.М. Колмогоров, О.Ф. Семенович, Р.С. Черкасов. Геометрія: Навчальний посібник для 6-8 класів середньої школи. - К.: Рад. школа, 1973). У першому розділі - «Початкові поняття геометрії» - введені основні (без означення) поняття стереометрії: точка, пряма, площина, відстань між двома точками. Потім сформульовані три основні властивості відстані, на основі яких доведено твердження про те, що для будь-яких трьох точок А, В і С відстань АС більша або дорівнює різниці відстаней АВ і ВС. У цьому ж пункті введене поняття аксіоми, сформульована аксіома прямої, на основі якої доведена теорема про те, що дві прямі можуть мати не більше однієї спільної точки. Далі формулюються твердження, одні з яких не доводяться, інші доводяться, але термін «аксіома» не вживається. Отже, системи аксіом, на якій би будувалась планіметрія, у ході викладення матеріалу не сформульовано, аксіоматичний метод не реалізовано.

У додатках «Про логічну побудову геометрії» зясовано суть логічної будови геометрії та запропонована одна із можливих систем аксіом, відповідна системі викладу геометричного матеріалу в даному посібнику. Ця система аксіом складається з дванадцяти аксіом, поділених на пять груп:

1) аксіоми належності (3);

2) аксіоми відстані (3);

3) аксіоми порядку (4);

4) аксіома рухомості (1);

5) аксіома паралельних (1).

У 80-ті роки минулого століття зявилося декілька спроб побудувати шкільний курс геометрії на аксіоматичній основі. Це навчальний посібник О.В. Погорєлова, авторського колективу, очолюваного О.Д. Александровим, посібник Л.С. Атанасяна та ін.

Відомо, що за основу планіметрії можна взяти різні системи аксіом, тому і побудова планіметрії може бути здійснене різними шляхами. Але, незважаючи на різні підходи до побудови планіметрії, в ній вивчають одні й ті ж геометричні фігури і дістають одні й ті ж їх властивості, виражені в аксіомах і теоремах: це теорема Шфагора, теореми про суму кутів трикутника, про площу трикутників і многокутників, ознаки рівності трикутників, операції над векторами і т.д.