2. Операции над событиями. Условная вероятность

Часто возникает вопрос: насколько связаны два случайных события А и В друг с другом, в какой мере наступление одного из них влияет на возможность наступления другого?

В качестве примера связи между двумя событиями можно привести случаи, когда наступление одного из событий ведет к обязательному осуществлению другого или же, наоборот, когда наступление одного события исключает шансы другого.

Если в результате эксперимента события А и В не могут наступить одновременно, то они называются несовместными событиями, в противном случае совместными.

Пример 1. Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. То, что она стандартна, исключает ее нестандартность. События "Наудачу извлеченная деталь стандартна" и "Наудачу извлеченная деталь нестандартна" -- несовместные.

Если события рассматривать как подмножества пространства элементарных событий, то отношения между событиями можно интерпретировать как соотношения между множествами. Несовместные события -- это такие события, которые не содержат общих элементарных событий.

Говорят, что событие А влечет за собой событие В, если в результате эксперимента из наступления события А обязательно следует наступление события В, и обозначают это через . Если и , то .

Пример 2. Бросается игральная кость. Событие "выпало 4" влечет за собой событие "выпало четное число очков".

Суммой двух событий А и В называют событие, состоящее в наступлении события А или события В, или обоих этих событий. Оно обозначается через А+В или . Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в наступлении хотя бы одного из этих событий.

Пример 3. Из орудия производится два выстрела. Если А - попадание при первом выстреле, а В - попадание при втором выстреле, то А+В - попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

Произведением двух событий А и В называют событие, состоящее в совместном наступлении событий А и В. Оно обозначается через АВ или . Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий.

Пример 4. В ящике содержатся детали, изготовленные заводами №1 и №2. Если А - появление стандартной детали, а В - деталь изготовлена заводом №1, то АВ - появление стандартной детали завода №1.

Противоположное событие для события А обозначается через . Оно считается наступившим тогда и только тогда, когда А не наступает. Иными словами, А и - это такие несовместные события, которые вместе образуют достоверное событие, т.е.

.

Пример 5. Попадание и промах при выстреле по цели -- противоположные события. Если А -- попадание, то -- промах.

Событие, которое представляет собой наступление события А и не наступление события В, называется разностью событий А и В, и обозначается через В.

Два события называют независимыми, если вероятность одного из них не зависит от наступления или ненаступления другого. В противном случае эти события называются зависимыми.

Пример 6. Монета брошена 2 раза. Вероятность появления герба при первом бросании (событие А) не зависит от появления герба при втором бросании (событие В). В свою очередь, вероятность выпадения герба при втором бросании не зависит от результата первого бросания. Таким образом, события А и В -- независимы.

Несколько событий называют попарно независимыми, если любые два из них взаимно независимы.

Пусть А и В -- два случайных события, причем . Из определения зависимых событий следует, что вероятность одного из событий зависит от наступления или ненаступления другого. Поэтому, если нас интересует вероятность события А, то важно знать, наступило ли событие В.

Вероятность события А при условии, что произошло событие В, называется условной вероятностью и обозначается через .

Пример 7. В урне содержится 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают наудачу по одному шару, не возвращая их в урну. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие А), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие В).

Решение. После первого испытания в урне осталось всего 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность равна

.

Выведем теперь формулу условной вероятности. Пусть событиям А и В благоприятствуют соответственно m и k элементарных событий из n; тогда, согласно (1.1), их безусловные вероятности равны и соответственно. Пусть событию А при условии, что событие В произошло, благоприятствуют r элементарных событий, тогда, согласно (1.1), условная вероятность события А равна

.

Разделив и числитель, и знаменатель на n, получим формулу условной вероятности

Или

. (2.1)

поскольку событию АВ соответствуют r элементарных событий и, следовательно, -- его безусловная вероятность.

Вопросы для повторения и контроля:

1. Какие события называются несовместными, а какие совместными?

2. Что означает выражение "событие А влечет за собой событие В" и как оно обозначается?

3. Что называется суммой событий и как оно обозначается?

4. Что называется произведением событий и как оно обозначается?

5. Что такое противоположное событие и как оно обозначается?

6. Что называется разностью событий и как оно обозначается?

7. Какие события называются независимыми, а какие зависимыми?

8. Что такое условная вероятность и какова ее формула?