Теория вероятностей на уроках математики

дипломная работа

§5. Понятие вероятности события

П.1. Классическое понятие вероятности события.

Бросаем игральную кость. Выпасть может или одно, или два, или три, или четыре, или пять, или шесть очков. Каждое из этих событий элементарное, и вместе они образуют пространство элементарных событий. Но будут ли эти события равновозможными? Какие обстоятельства могут это обеспечить? Это довольно сложный вопрос. Конечно можно предположить, что эти события равновозможные, когда кость является правильным кубом с центром тяжести в своем геометрическом центре, когда она сделана из идеального однородного материала, когда она подбрасывается наугад одинаковым способом. Этих "тогда" так много, что трудно всех их учесть.

Равновозможными элементарными событиями будем считать такие события, любое из которых по отношению к другим событиям не обладает никаким преимуществом, появляется чаще другого при многократных испытаниях, производимых в одинаковых условиях.

В таблице 1 рассматриваем случайные события, представляющие подпространства пространства равновозможных элементарных событий (несколько событий называются равновозможными, если нет основания считать, что одно из этих событий является объективно более возможным, чем другое) определяемых испытанием с игральной костью

Таблица 1.

Обозначение

события

Содержание события

Кол-во элементарных событий благоприятсвующих данному событию

А

Выпало четное число очков

3

В

Выпало меньше трех очков

2

С

Выпало менее пяти очков

4

Д

Выпало не более пяти очков

5

G

Выпало не менее трех очков

4

U

Выпало более шести очков

0

И

Выпало не более шести очков

6

Эта таблица показывает неодинаковые возможности появления этих событий при одном испытании: более возможно то событие, которому благоприятствует большее число равновозможных элементарных событий данного пространства. Эти числа и могли бы быть численной мерой возможностей появления различных событий, связанных с данным испытанием.

А как сравнить возможности появления событий А1 и В1, которые связанны с различными пространствами элементарных событий?

Пусть в одном ящике 10 черных шаров пронумерованных четными числами 2,4,….18, 20, а в другом 8 белых шаров, пронумерованных числами 1,3,5,7,9,11,13,15. Наугад вынимаем из ящика по одному шару. Пусть А1-"номер черного шара, кратный 3", событие В1-"номер белого шара не больше 5".

Какое из этих событий более возможно?

Событию А1 благоприятствует 3равновозможных события (6,12,18), событию В1 тоже 3 (1,3,5). Может быть А1 и Б1 равновозможные события? Ответить на заданный вопрос можно, только зная количество всех равновозможных элементарных событий пространства, связанного с выниманием белого шара.

Полная информация об этих событиях может быть представлена в форме таблицы 2.:

Таблица 2.

Событие

Содержание события

Число элементарных событий всего пространства

Число элементарных событий благоприятствующих данному событию

отношение

А1

Появление числа кратного 3

На черном шаре

10

3

0,30

В1

Появление числа не большего 5, на белом шаре

8

3

0,37

Приходим к выводам:

А) событие В1 более возможное, чем событие А1;

Б) возможность появления некоторого события n удобно измерять отношением m/n, где n - число всех равновозможных элементарных событий вытекающих из условий данного испытания, а m-число равновозможных событий, которые благоприятствуют событию Н.

Эту удобную меру возможности появления события Н принято называть вероятностью этого события и обозначать символом Р(Н) =m/n.

Определение 1. вероятностью случайного события Называется отношение числа равновозможных элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к числу всех равновозможных элементарных событий пространства Е, определяемого данным испытанием.

Это классическое определение вероятности случайного события.

Р=(И) =n/n=1, т. к. число возможных исходов испытания равно числу исходов, благоприятствующих появлению события.

Р=(_) =o/n=o, т. к. число исходов испытания, благоприятствующих появлению невозможного события, равно 0.

П.2. Статистическое определение вероятности

При классическом подходе определения понятия вероятности сводится к более простому понятию - равно возможности элементарных событий. А это понятие основного на интуитивном воображении человеком тех условий испытания, которые вроде достоверно определяют эту равно возможность. Но не каждое испытание поддается такому воображению. Например, не может быть речи о равновозможных исходах испытания, состоящего в подбрасывании неправильной игральной кости, центр тяжести которой сознательно смещен с геометрического центра.

Какова вероятность выпадения шестерки, при подбрасывании такой кости?

Как известно вероятность выпадения шестерки при подбрасывании правильной игральной кости, равна 1ч6.

Допустим, провели n бросаний такой кости и определили, что шестерка выпала m раз. Отношение mчn назовем статистической частотой появления шестерки. При проведении серии таких испытаний, может случится, что

при подбрасывании кости n раз шестерка выпала m1раз; статистическая частота Р1=m1чn;

при подбрасывании кости n+1раз шестерка выпала m2раз: статистическая частота Р2=m2чn+1;

при подбрасывании кости Nраз шестерка выпала mN раз: статистическая частота РN=mNчN.

Заметим, что для статистических частот р1,р2,р3,…. рN будет характерна устойчивость: они будут с возрастанием числа испытаний сколь угодно близко сосредотачиваться около вероятности Р=1ч6.

Подбрасывая неправильную кость и определяя статистические частоты появления, например, шестерки, заметил такую же устойчивость этих частот, но эти частоты с возрастанием числа испытаний устойчиво будут сосредотачиваться около некоторого, в результате неправильности игральной кости нам неизвестно числа Р. Это неизвестное число в отношении статистических частот появления шестерки при подбрасывании неправильной игральной кости выступает как бы в роли 1ч6 в отношении статистических частот появления шестерки при подбрасывании правильной игральной кости. Будем считать это неизвестное число Р вероятностью выпадшей шестерки при бросании неправильной игральной кости. Для каждой неправильной игральной кости это Р будет разное.

Пусть m1чn; m2чn+1;... .; mNчN - статистическая частота наступления события А в некоторой серии испытаний, каждое из которых проводится в одинаковых условиях (например, подбрасывается одна и та же игральная кость с одинаковой высоты)

Определение 2. вероятностью события А называется то неизвестное число Р, около которого сосредотачиваются значения статистических частот наступления события А при возрастании числа испытаний.

Это - статистическое определение вероятности случайного события.

П.3. Геометрическое определение вероятности.

Пусть на плоскости задан круг и нем треугольник В. В круг на удачу "бросается точка". Как определить вероятность события Н, состоящего в том, что точка попадает в треугольник?

При решении этой задачи будем пользоваться следующем исходным положением: вероятность попасть в какую-либо часть круга пропорционально площади этой части.

Если площадь круга составляет n единиц площади, а площадь треугольника m единиц площади, то в силу пропорциональности Р(А) =mk единиц площади чnk единиц площади = mчn.

На конкретном примере можно увидеть, что геометрический подход к вероятности события не зависит от вида измерений геометрического пространства: важно только, чтобы пространство элементарных событий Е и пространство представляющее событие А, были одинакового вида и одинаковых измерений.

Пример

Пусть на плоскости задан круг и определен его сектор ВОС (рис11), <ВОС=б. Рассмотрим вероятности трех событий А1, А2, А3, состоящих в следующем: в круг на удачу бросается точка М. А1-"попадание М1 в сектор ВОС". На дугу окружности наугад бросается точка N. А2-"попадание N на дугу ВОС". На рисунок на удачу бросается вектор OS, начало которого закреплено в точке О.

А3-"попадание OS в угол б"

Пусть ОС=r - радиус круга. Тогдa:

Тот факт, что Р(А1) =Р(А2) =Р(А3), подтверждает вышеизложенное суждение и позволяет обобщить формулу (х):

если событие А состоит в попадании точки М на отрезок [б; в] при ее бросании наугад на отрезок [а; в] (рис.12), то

Р(А) = в - бчв-а;

если позиция А состоит в попадании вектором ОМ в угол б при бросании наугад, когда начало вектора закреплено в точке О (рис13), то Р(А) = бч2р (в радианах) = б ч360°(в градусах);

если событие А состоит в попадании точки М в пространство Т при бросании ее наугад в пространство S, то Р(А) =VтчVs

Геометрическая интерпретация вероятности события является важным средством подхода к расчету вероятностей сложных событий.

Определение 3. вероятностью случайного события А называется численная мера возможности наступления этого события при некотором испытании.

П.4. Аксиомотическое определение вероятности

Пусть Щ - произвольное пространство элементарных событий, а И - некоторый класс подмножеств множества Щ.

Класс подмножеств И называется алгеброй событий, если Щ в И и если А; ВЄИ, А+ВЄИ, А/ВЄИ при любом АЄИ, ВЄИ. Отсюда следует, что ?= Щ ЩЄИ. Наименьшей системой подмножеств, является алгеброй, очевидно являясь системой И={d, Щ }. Нетрудно проверить следующие утверждение. Если И - система всех подмножеств множества Щ, то и алгебра, если Щ-конечное множество, то система всех подмножеств будет так же конечным числом.

Пример.

Подбрасывание игральной кости один раз. В этом опыте Щ={W1,W2...,W6}, где Wк обозначен исход опыта, заключающийся в выпадении k очков. Имеем шесть исключающих друг друга исходов. Выпишем все события алгебры И, состоящих из всех подмножеств Щ:

{W1},{W2},... . {W6};

{W1,W2},{W1,W3},... . {W5,W6},{W1,W2,W3},... . .;

{W1,W2,W3,W4,W5,W6}= Щ

В этом примере алгебра и состоит из 2=64 событий. Если множества Щ состоит из N элементов, то число всех подмножеств равно 2N. Действительно, число последовательностей из 0 и 1 длины N равно 2N, а между такими последовательностями и подмножествами Щ можно установить взаимнооднозначное соответствие по следующему правилу: элемент с номером i из множества Щ включается в подмножество, соответствующее данной последовательности стоит 1.

Определение 4. числовая функция Р, определенная на классе событий И, называется вероятностью, если выполнимы следующие условия:

А1. не является алгеброй событий;

А2. Р(А) ?0 для любого а АЄИ.

А3. Р(Щ) =1

А4. (аксиома конечной аудитивности)

Если А и В несовместимы, то Р(А+В) =Р(А) +Р(В).

Для решения задач, связанных с бесконечными последовательностями событий, требуется дополнить приведенные аксиомы следующей аксиомой непрерывности:

А5. для любой убывающей последовательности А1эА2э…. эАnэ…событий из И такой, что__Аn= ? имеет место равенство е1m Р(Аn) =0.

Укажите несколько простых свойств вероятности, которые непосредственно следуют из аксиом А2-А4. Из аксиом А3-А4 и равенства А+А= Щ следует, что Р(А) =1-Р(А).

Полагая здесь А= Щ, получим Р(?) =0.

Делись добром ;)