§6. Теоремы о вероятности суммы событий

Определение 1. несколько событий называются несовместимыми в данном опыте, если никакие два из них не могут появится вместе.

Примеры.

появление 1,2,4очков при бросании игральной кости;

попадание и промах при одном выстреле - несовместимые события.

Теорема 1. вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятности этих событий:

Р(А+В) =Р(А) +Р(В) (1)

Докажем эту теорему для схемы случаев.

Пусть возможные исходы опыта сходятся к совокупности случаев. Для наглядности изобразим их в виде n точек.

m n A k n B

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

n

Предположим, что из этих случаев m благоприятны событию А, а k событию В. Тогда Р(А) =mчn; P(B) =kчn.

Так как события А и В несовместны, то нет таких случаев, которые благоприятны m+k случаев И

Р(А+В) =m+kчn.

Подставим полученные выражения в формулу (1) получим тождество. Теорема доказана.

Обобщим теорему сложения на случай трех событий. Обозначая события А+В буквой Д и присоединяя к сумме еще одно событие С, легко доказать, что: Р(А+В+С) =Р(Д+С) =Р(Д) +Р(С) =Р(А+В) +Р(С) =

=Р(А) +Р(В) +Р(С).

Методом полной индукции можно обобщить теорему сложения на произвольное число несовместных событий. Предположим, что она справедлива для n событий: А1, А2,... Аn, и докажем, что она будет справедлива для n+1 событий: А1, А2,... ... Аn,An+1

Обозначим: А1+А2+…. +Аn=C

Имеем: Р(А1+А2+…. +Аn+An+1) =P(C+An+1) =P(C) +P(An+1).

Но т. к. для n событий теорема справедлива, то Р(С) =Р(А1) +Р(А2) +…. +Р(Аn), откуда Р(А1+А2+…+Аn+An+1) =P(A1) +P(A2) +... . P(An) +P(An+1), что и требовалось доказать.

Таким образом, теорема сложения вероятностей применима к любому конечному числу несовместных событий. Ее удобно записать в виде: Р(?Аi) =?P(Ai)

Отметим следствия, вытекающие из теоремы сложения вероятностей.

Предварительно введем вспомогательное понятие.

Определение 2. говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них.

Примеры.

3) выпадение герба и выпадение цифры при бросании монеты;

4) попадание и промах при выстреле - полные группы событий.

Следствие 1. если события А1, А2,…Аn, образу4ют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице: ?P(Ai) =1.

Доказательство. Так как события А1, А2,…. Аn образуют полную группу, это появление хотя бы одного из них - достоверное событие.

P(A1+A2+... +An) =1

Т. к. А1, А2,…. Аn - несовместные события, то к ним применима теорема сложения вероятностей.

P(A1+A2,... .,+An) =P(A1) +P(A2) +... . +P(An) = ?P(Ai),

откуда ?P(Ai) =1, что и требовалось доказать.

Перед тем, как ввести второе следствие теоремы сложения, определим понятия о "противоположных событиях".

Определение 3. противоположными событиями называются два несовместных события, образующие полную группу.

Событие, противоположное событию А, принято обозначать А.

Примеры.

5) А-попадание при выстреле;

А-промах при выстреле;

6) В-выпадение герба при бросании монеты;

В-выпадение цифры при бросании монеты - противоположные события.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице. Р(А) +Р(А) =1.

Доказательство. Вспомним для доказательства, что А+А=И, Р(И) =1, А*А= ?, Тогда по теореме 1 получаем:

1=Р(И) =Р(А+А) =Р(А) +Р(А), что и требовалось доказать.

Это следствие есть частный случай следствия 1. оно важно в практическом применении теории вероятностей. На практике весьма часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события А, чем вероятность прямого события А. в этих случаях вычисляют Р(А) и находят Р(А) =1-Р(А).

Пример 7.

Круговая мишень (рис 14) состоит из трех зон: I, II, III. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле - 0,15, во вторую - 0,23, в третью - 0,17. Найти вероятность промаха.

Решение. Обозначим А-промах при выстреле, тогда А-попадание. Тогда А=А1+А2+А3, где А1, А2, А3-непопадание соответственно в первую, вторую, третью зоны.

По теореме 1 Р(А) =Р(А1) +Р(А2) +Р(А3) =0,15+0,23+0,17=0,55, откуда Р(А) =1-Р(А) =0,45

В ряде случаев приходится вычислять вероятность суммы событий, которые могут быть совместными.

Теорема 2. для любых двух событий справедливо равенство: Р(А+В) =Р(А) +Р(В) - Р(АВ) (2)

Доказательство. Событие А состоит из компонент А*В и А*В, а событие в из компонент А*В и А*В. Поэтому А+В=(АВ) +(АВ) +(АВ) +(АВ) =(АВ) +(АВ) +(АВ), и поскольку входящие в это положение компоненты попорио не пересекаются, то

Р(А+В) =Р(АВ) +Р(АВ) +Р(АВ) (3)

С другой стороны имеем Р(А) =Р(АВ) +Р(АВ); и Р(В) =Р(АВ) +Р(АВ), а потому P(A) +P(B) =2P(AB) +P(AB) +P(AB).

Сравнивая эти равенства с (3) получаем доказываемую формулу (2)

Для произвольного числа событий формула выглядит так: Р(?Ai) = ?P(Ai) - ?P(Ai-Aj) + ?P(AiAjAk)... . +(-1) n-1P(A1A2... An).

В частности при n=3 имеем: Р(А+В+С) =Р(А) +Р(В) +Р(С) - Р(АВ) - Р(АС) - Р(ВС) +Р(АВС).