§8. Формула полной вероятности. Теорема гипотез

п.1. Формула полной вероятности.

Следствием обеих основных теорем -теорем сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей является так называемая формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А1, которое может произойти вместе с одним из событий: Н1, Н2…Hn, образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами. Докажем, что в этом случае P(A) = ?P(Hi) P(A/Hi), (1)

Т.е. вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.

Формула (1) носит название формулы полной вероятности.

Доказательство. Т.к. гипотезы Н1, Н2,…Нn образуют полную группу, то событие А может появится только в колебании с какой-либо из этих гипотез.:

А=Н1А+Н2А+…+НnA.

Так как гипотезы Н1, Н2,… Нn, несовместны, то комбинации Н1, А1, Н2А,…НnA так же несовместны; применяя к ним теорему сложения, получим: Р(А) =Р(Н1А) +Р(Н2А) +…+Р(НnA) = ?P(Hi) P(A/Hi), что и требовалось доказать.

Пример 1.

Имеются три одинаковые на вид урны; в первой урне 2 белых и 1 черный шар; во второй урне 3 белых и 1 черный шар; в третьей 2 белых и 2 черных шара.

Некто выбирает одну из урн наугад и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение:

Рассмотрим три гипотезы:

Н1-выбор первой урны

Н2-выбор второй урны

Н3-выбор третьей урны

Н1Н2Н3-полная группа несовместных событий.

Пусть событие А-появление белого шара. Т.к. гипотезы, по условию задачи равно возможны, то Р(Н1) =Р(Н2) =Р(Н3) =13

Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны: Р(А/Н1) =23; Р(А/Н2) =34; Р(А/Н3) =1/2.

По формуле полной вероятности

Р(А) =13*32+13*34+13*12=2336

Ответ: 2336

П.2. Теорема гипотез.

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является так называемая теорема гипотез, или формула Бейса (Байеса).

Поставим следующею задачу.

Имеется полная группа несовместных гипотез Н1, Н2,. . Нn. вероятности этих гипотез до опытов известны и равны соответственно Р(Н1),Р(Н2) …,Р(Нn). Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление некоторого события А. Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез, в связи с появлением этого события?

Здесь, по существу речь идет о том, чтобы найти условную вероятность Р(Н1/А) для каждой гипотезы.

Из теоремы умножения имеем:

Р(A*Нi) =P(A) P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi), (i=1,2,3,... n) или, отбрасывая левую часть

P(A) P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi),(i=1,2,. .,n)

Откуда P (Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi) чP(A),(i=1,2,3,... . n)

Выражая с P(A) помощью полной вероятности, имеем

P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi) ч?P(Hi) P(AHi),(i=1,2,3,... . n) (2)

Формула (2) носит название формулы Бейса или теоремы гипотез

Пример 2. на фабрике 30%продукции производится машиной I, 25% продукции - машиной II, остальная часть продукции - машиной III. У машины I в брак идет 1% сей производимой его продукции, у машины II-1.5%, у машины III-2% наугад выбранная единица продукции оказалась браком. Какова вероятность того, что она произведена машиной I?

Решение.

Введем обозначения для событий.

А-выбранное изделие оказалось браком

Н1-изделие произведено машиной I

H2 - изделие произведено машиной II

H3 - изделие произведено машиной III

P(H1) =0,30; Р(Н2) =0,25; Р(Н3) =0,45

Р(А/Н1) =0,01,

Р(А/Н2) =0,015

Р(А/Н3) =0,02

Р(А) =0,01*0,30+0,015*0,25+0,02*0,45=0,015,

Р(Н1/А) = 0,01*0,30ч0,015=0, 20

Ответ: 20%всех бракованных изделий выпускается машиной I.