§9. Формула Бернулли

Закон больших чисел

Пусть А случайное событие по отношению к некоторому опыту у. Будем интересоваться лишь тем, наступило или не наступило в результате опыта событие А, поэтому примем следующую точку зрения: пространство элементарных событий, связанное с опытом у, состоит только из двух элементов - А и А. Обозначим вероятности этих элементов соответственно, через p и q, (p+q=1).

Допустим теперь, что опыт у в неизменных условиях повторяется определенное число раз, например, 3 раза. Условимся троекратное осуществление у рассматривать как некий новый опыт з. Если по прежнему интересоваться только наступлением или не наступлением А., то следует очевидно принять, что пространство элементарных событий, отвечающее опыту з, состоит из всевозможных последовательностей длины 3: (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), которое можно составить из А и А.

Каждая из указанных последовательностей означает ту или иную последовательность появления или не появления событий А в трех опытах у, например, последовательность (А, А, А), означает, что в первом опыте наступило А, а во втором и третьем - А. Определим, какие вероятности следует приписать каждой из последовательностей (1)

Условие, что все три раза опыт у проводится в неизменных условиях, по смыслу должно означать следующие - исход каждого из трех опытов не зависит от того, какие исходы имели место в остальных двух опытах. Т.е. любая комбинация исходов трех опытов представляет собой тройку независимых событий. В таком случае, элементарному событию (А, А, А), естественно приписать вероятность, равную p*q*q, событию (А, А, А),-вероятность q*y*y и т.д.

Т. о. приходим к следующему описанию вероятностной модели для опыта з (т.е. для трехкратного осуществления опыта у). Пространство Щ элементарных событий есть множество из 2 в 3степени последовательностей. (1). Каждой последовательности сопоставляется в качестве вероятности число р в степени k, q в степени e, где показатели степеней определяют, сколько раз символы А и А входят в выражение для данной последовательности.

Вероятностные модели такого рода называются схемами Бернулли. В общем случае схема Бернулли определяется значением чисел n и p, где n - число повторений исходного опыта у (в предыдущем опыте мы считали n=3), а p-вероятность события А по отношению к опыту у.

Теорема 1. пусть вероятность события А равна p, и пусть Pmn-вероятность того, что в серии из n независимых испытаний это событие произойдет m-раз.

Тогда справедлива формула Бернулли.

Pmn=Cn в степени m *P в степени m *q в степени n-m [20, стр58]

Пример 1.

Монета подбрасывается 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет при этом ровно 3раза?

Решение:

В данном случае успехом считается выпадение герба, вероятность p этого события в каждом опыте равна 12.

Отсюда: Р10,3=С10в 3степени*(12) в 3степени*(12) в 7степени=10*9*8ч1*2*3*(1ч2в 10степени) =15128

Ответ: 15128

При большом числе испытаний относительная частота появления события мало отличается от вероятности этого события. Математическую формулировку этого качественного это качественного утверждения дает принадлежащий Бернулли закон больших чисел, который уточнил Чебышев.

Теорема 2. Пусть вероятность события А в испытании p равна p, и пусть проводятся серии состоящие из n независимых повторений этого испытания.

Через m обозначим число испытаний, в которых происходило событие А. тогда для любого положительного числа б выполняется неравенство:

З(|m -p|> б) <pqч2во 2степени n (3) [20, стр. 148]

Смысл этого неравенства состоит в том, что выражение mчn равно относительной частоте события А в серии опытов, а |m -p|> б означает, что отклонение этой относительной от теоретического значения p. Неравенство |m -p|> б означает, что отклонение оказалось больше чем б. Но при постоянном значении б с ростом n правая часть неравенства (3) стремится к нулю. Иными словами, серии в которых отклонение экспериментальной частоты от теоретической велико, составляют малую долю всех возможных серий испытаний.

Из теоремы вытекает утверждение, полученное Бернулли: в условиях теоремы при любом значении б>0 имеем

P(|m -p|) > б) =0.