Теорії інтеграла Стільєса

дипломная работа

2.7 Обчислення інтегралів Стільєса

Доведемо наступну теорему:

Якщо функція інтегрувальна в змісті Римана в проміжку , а представлена інтегралом

де функція абсолютно інтегрувальна в , те

(11)

Інтеграл праворуч існує. Існування інтеграла Стільєса при зроблених припущеннях уже було доведено (п.3,3).

Залишається лише встановити рівність (11).

Без применшення спільності можна припустити функцію позитивної.

Складемо, як звичайно, суму Стільєса

Тому що, з іншого боку, можна написати

те будемо мати

Очевидно, для буде , де означає коливання функції в проміжку . Звідси випливає така оцінка написаної вище різниці:

Але ми вже знаємо (п.3,3), що при остання сума прагне до 0, отже,

що й доводить формулу (11).

Зокрема, з доведеної теореми випливає (якщо врахувати зауваження в п.3) такий наслідок, зручне для безпосереднього застосування на практиці:

2. При колишніх припущеннях щодо функції допустимо, що функція безперервна у всім проміжку й має в ньому, крім хіба лише кінцевого числа крапок, похідну , що в абсолютно інтегрувальна. Тоді

(12)

Цікаво відзначити, що інтеграл праворуч у формулі (12) формально виходить із інтеграла ліворуч, якщо, розуміючи символ буквально як диференціал, замінить його вираженням .

Звертаючись до випадків, коли функція виявляється розривною (що для практики, як побачимо, становить особливий інтерес), почнемо з розгляду "стандартної" розривної функції , обумовленої рівностями

Вона має розривши першого роду - стрибок - у крапці праворуч, причому величина стрибка дорівнює 1; у крапці ліворуч і в інших крапках функція безперервна. Функція буде мати такий же розрив у крапці праворуч; навпаки, буде мати подібний розрив у крапці ліворуч, причому величина стрибка буде дорівнює - 1.

Припустимо, що функція безперервна в крапці , і обчислимо інтеграл де (при цей інтеграл дорівнює нулю).

Складемо суму Стільєса:

Нехай крапка потрапить, скажемо, в -й проміжок, так що . Тоді , а при, мабуть, . Таким чином, вся сума зводиться до одного доданка: Нехай тепер . По безперервності . Отже, існує (при )

(13)

Аналогічно можна переконатися в тім, що (при )

(14)

(при цей інтеграл звертається в нуль).

Тепер ми в стані довести теорему, у деякому змісті більше загальну, чим 2, а саме, відмовитися від вимоги безперервності функції:

Нехай функція в проміжку безперервна, а має в цьому проміжку, крім хіба лише кінцевого числа крапок, похідну , що абсолютно інтегрувальна в. При цьому нехай функція в кінцевому числі крапок

терпить розривши першого роду. Тоді існує інтеграл Стільєса й виражається формулою

(15)

Характерно тут наявність суми, де фігурують перегони функції в крапках або - однобічні.

Для спрощення запису введемо позначення для стрибків функції праворуч і ліворуч:

очевидно, для

Складемо допоміжну функцію:

яка як би вбирає в себе всі розриви функції , так що різниця , як ми зараз установимо, виявляється вже безперервної.

Для значень , відмінних від усіх , безперервність функції не викликає сумнівів, тому що для цих значень безперервні обидві функції й . Доведемо тепер безперервність у крапці праворуч. Всі суми, що складаються , крім члена , безперервні при праворуч; тому досить вивчити поводження вираження . При воно має значення ; але такий же і його межа при :

Аналогічно перевіряється й безперервність функції в крапці ліворуч.

Далі, якщо взяти крапку (відмінну від усіх ), у якій функція має похідну, те поблизу цієї крапки зберігає постійне значення, отже, у ній і функція має похідну, причому

.

Для безперервної функції , по попередній теоремі, існує інтеграл Стільєса

Точно так само легко обчислити й інтеграл

Складаючи по членне ці дві рівності, ми й прийдемо до рівності (15); існування інтеграла Стільєса від по функції встановлюється попутно (п.4,3).

Делись добром ;)