2.9 Приклади інтегралів

Розглянемо інтеграл

(20)

припускаючи функцію безперервної інтеграл позитивної, а - лише монотонно зростаючої (у точному значенні); функція може мати й розриви (перегони).

Система параметричних рівнянь

(21)

виражає деяку криву , загалом кажучи, розривну (мал). Якщо при якімсь функція випробовує стрибок, так що , то цьому граничному значенням відповідає один інтеграл те ж граничне значення , рівне . Доповнимо криву всіма горизонтальними відрізками, що зєднують пари крапок

і

Які відповідають всім скачкам функції (див. мал). Таким чином, складеться вже безперервна крива . Покажемо, що інтеграл (20) представляє площу фігури під цій кривій, точніше, площа фігури, обмеженої кривій , віссю й двома крайніми ординатами, що відповідають абсцисам і .

Із цією метою розкладемо проміжок на частині крапками

і відповідно до цього проміжок на осі - на частині крапками

Увівши найменше й найбільше значення й функції в -м проміжку , складемо нижню інтеграл верхню суми Стільєса-Дарбу

Легко бачити тепер, що вони представляють площі фігур, складених із вхідний інтеграл з вихідних прямокутників, між якими втримується розглянута криволінійна фігура.

Тому що при прагненні до 0 усіх обидві суми прагнуть до загальної межі (20), те звідси треба, що наша фігура квадрируєма й площею її служить дійсно інтеграл (20).