2.9 Приклади інтегралів
Розглянемо інтеграл
(20)
припускаючи функцію безперервної інтеграл позитивної, а - лише монотонно зростаючої (у точному значенні); функція може мати й розриви (перегони).
Система параметричних рівнянь
(21)
виражає деяку криву , загалом кажучи, розривну (мал). Якщо при якімсь функція випробовує стрибок, так що , то цьому граничному значенням відповідає один інтеграл те ж граничне значення , рівне . Доповнимо криву всіма горизонтальними відрізками, що зєднують пари крапок
і
Які відповідають всім скачкам функції (див. мал). Таким чином, складеться вже безперервна крива . Покажемо, що інтеграл (20) представляє площу фігури під цій кривій, точніше, площа фігури, обмеженої кривій , віссю й двома крайніми ординатами, що відповідають абсцисам і .
Із цією метою розкладемо проміжок на частині крапками
і відповідно до цього проміжок на осі - на частині крапками
Увівши найменше й найбільше значення й функції в -м проміжку , складемо нижню інтеграл верхню суми Стільєса-Дарбу
Легко бачити тепер, що вони представляють площі фігур, складених із вхідний інтеграл з вихідних прямокутників, між якими втримується розглянута криволінійна фігура.
Тому що при прагненні до 0 усіх обидві суми прагнуть до загальної межі (20), те звідси треба, що наша фігура квадрируєма й площею її служить дійсно інтеграл (20).
- Введення
- Глава I. Розвиток поняття інтеграла
- 1.1 Проблема моментів
- Глава II. Інтеграл Стільєса
- 2.1 Визначення інтеграла Стільєса
- 2.2 Загальні умови існування інтеграла Стільєса
- 2.3 Класи випадків існування інтеграла Стільєса
- 2.4 Властивості інтеграла Стільєса
- 2.6 Приведення інтеграла Стільєса до інтеграла Римана
- 2.7 Обчислення інтегралів Стільєса
- 2.8 Приклади
- 2.9 Приклади інтегралів
- 2.10 Теорема про середній, оцінки
- 2.11 Граничний перехід під знаком інтеграла Стільєса
- 2.12 Приклади й доповнення
- Глава III. Застосування інтеграла Стільєса
- 3.1 Застосування в теорії ймовірностей
- 3.2 Застосування у квантовій механіці
- 29. Властивості визначеного інтеграла
- 26. . Властивості невизначеного інтеграла
- Властивості невизначеного інтеграла
- 3.1.1 Властивості невизначеного інтеграла.
- 3. Властивості невизначеного інтеграла
- 3. Властивості подвійного інтеграла
- 3. Властивості подвійного інтеграла
- 3. Властивості невизначеного інтеграла
- Властивості невизначеного інтеграла
- 36. Властивості невизначеного інтеграла