2.3 Система аксіом О.В. Погорєлова

У 1982-1983 навчальному році у школах України (та інших республік СРСР), починаючи з 6 класу, геометрію стали вивчати за навчальним посібником академіка О.В. Погорєлова. Основний зміст цього посібника був опублікований у 1972 році в книзі «Елементарная геометрия» [5], яка подавалась на конкурс шкільного підручника з геометрії. В результаті експерименту з викладання геометрії за посібником О.В. Погорєлова у школах Харківської області, міст Києва і Севастополя цей посібник удосконалювався (1977-1982 рр.), і варіант «Геометрія 6-10» з 1982 р. Міністерством освіти СРСР і Міністерством освіти УРСР рекомендований у практику викладання геометрії в середній школі як основний навчальний посібник.

Основне завдання у викладанні геометрії автор нового посібника визначив так: «Пропонуючи цей курс, ми виходили з того, що головне завдання викладання геометрії в школі - навчити учнів логічно міркувати, аргументувати свої твердження, доводити. Дуже небагато з тих, що закінчать школу, будуть математиками, тим більше геометрами. Будуть і такі, що у своїй практичній діяльності жодного разу не використають теорему Шфагора. Проте навряд чи знайдеться хоч би один, якому не доведеться міркувати, аналізувати, доводити».

Можна виділити такі науково-педагогічні особливості цього посібника:

1) традиційний зміст і аксіоматична побудова;

2) економний виклад матеріалу і організуюча роль запитань для повторення;

3) єдність теорії і практики.

Відносно традиційного змісту О.В. Погорєлов зауважив: «Увесь багатовіковий досвід викладання елементарної геометрії з часів Евкліда доводить раціональність традиційної системи. Удосконалення її, повязане із загальним розвитком науки, не повинне стосуватися її розумних і глибоко продуманих основ» [5, с. 7].

Дедуктивна побудова геометрії визначається її аксіоматикою. Взагалі не слід змішувати аксіоматичну побудову шкільного курсу геометрії з аксіоматичною побудовою геометрії як науки. Спроби авторів ототожнювати їх при написанні шкільних підручників приводили до невдач. Тому досить популярна система аксіом Гільберта для побудови шкільної геометрії не підходить. Для дедуктивної побудови шкільного курсу геометрії необхідно мати просту, природну, зрозумілу для учнів систему аксіом. Цим вимогам найбільше відповідає система аксіом О.В. Погорєлова. В його посібнику здійснено систематизований виклад геометричного матеріалу на базі оригінальної і економної системи аксіом. При цьому аксіоматичний виклад ведеться від початку курсу. Автор вважає, що з педагогічної точки зору необхідно як можна раніше виховати в учнів мотивовану потребу аргументувати свої міркування, доводити нові твердження.

Курс геометрії в підручнику О.В. Погорєлова «Геометрія 7-11» [7] побудовано строго дедуктивно: усі аксіоми у вигляді основних властивостей найпростіших геометричних фігур сформульовані в першому параграфі. По суті, у цьому параграфі закладені основи курсу геометрії.

Основними поняттями є точка, пряма, площина, належати для точок і прямих, лежати між для точок на прямій міра (довжина відрізка, градусна міра кута).

Формулювання аксіом планіметрії і їх кількість у різних виданнях навчального посібника дещо змінювались, уточнювались. Наведемо їх формулювання за підручником [7]. Система аксіом (за цим підручником) складається з девяти аксіом планіметрії і трьох аксіом стереометрії. З методичних міркувань і для зручності викладу матеріалу аксіоми стереометрії сформульовані на початку стереометрії (§ 15). У підручнику [7] аксіоми не розбиті на групи, а мають порядкові номери.

I. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй.

II. Через будь-які дві точки можна провести пряму і тільки одну

III. З трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими.

IV. Кожний відрізок має певну довжину, більшу від нуля. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою.

V. Пряма розбиває площину на дві півплощини.

VI. Кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Розгорнутий кут дорівнює 180°. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.

VII. На будь-якій півпрямій від її початкової точки можна відкласти відрізок даної довжини, і тільки один.

VIII. Від будь-якої півпрямої в дану півплощину можна відкласти кут з даною градусною мірою, меншою за 180°, і тільки один.

IX. Який би не був трикутник, існує трикутник, що дорівнює йому в заданому розміщенні відносно даної півпрямої.

X. Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести на площині не більше як одну пряму, паралельну даній.

Аксіоми стереометрії

А1. Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, які не належать їй.

А2. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.

А3. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Звертаємо увагу на те, що у формулюванні аксіом І-ІХ відсутнє слово площина, оскільки вони формулювались у планіметрії, де всі обєкти геометрії розміщені в одній площині.

У стереометрії нескінченно багато площин, тому при формулюванні аксіом І-IX в стереометрії необхідно в кожній з них підкреслювати, що названі обєкти лежать в одній площині.

Наприклад, аксіома IV матиме в просторі таке уточнене формулювання:

IV. Пряма, що належить площині, розбиває цю площину на дві півплощини.

Такі уточнення стосуються і аксіом VII, VIII, IX при їх формулюванні в стереометрії.

У міру потреби перед формулюванням аксіом вводяться означувані поняття: відрізок, промінь (півпряма), кут, розгорнутий кут, трикутник, рівні відрізки, рівні кути, рівні трикутники, паралельні прямі та ін.

Відзначимо деякі особливості формулювання аксіом, означень і доведення теорем.

1. У багатьох підручниках з планіметрії для середньої школи період введення системи аксіом розтягувався до закінчення вивчення планіметрії. Пропонувалось спочатку вивчати геометрію на рівні наочних уявлень та інтуїтивно зрозумілих висновків без логічного їх обгрунтування, накопичуючи певні суттєві геометричні відомості, а після завершення вивчення планіметрії перейти до аксіоматичного викладу матеріалу, тобто спочатку основний зміст планіметрії вивчався емпірично. Але при цьому не виконувалось основне завдання - не формувалось наукове, дедуктивне мислення учнів.

На відміну від такого погляду на побудову і вивчення систематичного курсу геометрії, починаючи з планіметрії, у підручнику О.В. Погорєлова враховуються вікові можливості учнів 7--9 класів і використання наочних та інтуїтивних прийомів поєднується зі строго науковим, дедуктивним викладом (і вивченням) геометричного матеріалу уже з перших уроків геометрії в 7 класі. При цьому ставиться завдання не заучування аксіоматичних доведень, а поступового оволодіння ними; а також завдання доведення всіх тверджень, які не входять у число основних властивостей найпростіших геометричних фігур. Саме з урахуванням цього спочатку не вживається поняття аксіоми, воно замінене більш зрозумілим поняттям «основні властивості», які емпірично відомі учням з програми математики 1-6 класів. Лише в кінці § 1 (п. 13) читаємо: «Твердження, які міcтять формулювання основних властивостей найпростіших фігур, не доводяться і називаються аксіомами. Слово «аксіома» походить від грецького слова «аксіом» і означає «твердження, що не викликає сумнівів».

Під час доведення теорем дозволяється користуватися основними властивостями найпростіших фігур, тобто аксіомами, а також уже доведеними властивостями, тобто теоремами. Ніякими іншими властивостями фігур, навіть якщо вони нам видаються очевидними, користуватись не можна.

При доведенні теорем можна користуватися рисунком, як геометричним записом того, що виражається словами. Під час міркувань не дозволяється використовувати властивості фігур, які видно з рисунка, якщо не можна обґрунтувати їх, спираючись на аксіоми і теореми, доведені раніше».

2. Вимірювання геометричних величин займає значну частину шкільного курсу геометрії, зокрема при розвязуванні задач. У той же час введення понять вимірювання відрізків і кутів є одним із найскладніших для учнів 7 класу. Ці поняття можна ввести по-різному, Один із способів введення поняття величини відрізка і кута, який використовується в інших підручниках з геометрії, базується на понятті накладання, точніше, переміщення, бо накладання можна виконати тільки уявно. При заміні поняття «довжина» поняттям «відстань» треба формулювати аксіоми відстані.

Взагалі питання вимірювання довжини відрізка прямої еквівалентне питанню побудови теорії дійсних чисел, оскільки можна встановити взаємно однозначну відповідність між точками прямої і множиною дійсних чисел. Але цей шлях для учнів 7-9 класів також не підходить.

Тому О.В. Погорєлов у своєму підручнику, враховуючи вікові та пізнавальні можливості учнів, починаючи з 7 класу обходить теоретичні питання вимірювання довжин відрізків та величин кутів, замінивши їх достатньою мірою адекватними моделями -- відповідно масштабною лінійкою і транспортиром, що не знижує наукового рівня розуміння основних властивостей вимірювання відрізків і кутів. Тоді аксіоми III і V стають цілком доступними для учнів 7 класу.

3. Досить важливим у геометрії є поняття рівності фігур. У багатьох шкільних підручниках геометрії поняття рівності вводиться на основі властивостей руху, при цьому формулюються властивості (аксіоми) руху, які важко сприймаються на рівні 7 класу.

О.В. Погорєлов у своєму підручнику поняття рівності відрізків і кутів вводить на основі аксіом III і V вимірювання (п. 9 § 1):

«Два відрізки називаються рівними, якщо вони мають однакову довжину.

Два кути називаються рівними, якщо вони мають однакову кутову міру в градусах.

Трикутники називаються рівними, якщо в них відповідні сторони рівні і відповідні кути рівні. При цьому відповідні сторони мають лежати проти відповідних кутів». В означенні рівності трикутників особливо підкреслюється, що рівними мають бути відповідні сторони і відповідні кути, чого раніше в подібних означеннях не було.

Вводячи аксіому VIII, О.В. Погорєлов виключив використання досить складних за змістом і абстрактних аксіом руху і забезпечив можливість аксіоматичного викладу матеріалу про ознаки рівності трикутників.

Аксіома VIII про існування рівних трикутників дуже проста за формулюванням, доступна учням 7 класу і конструктивна: кожний учень може переконатись в існуванні трикутника, рівного даному, за допомогою побудови.

Пізніше, у 8 класі, після вивчення властивостей рухів поняття рівності фігур вводиться узагальнено: дві фігури називаються рівними, якщо вони переводяться одна в іншу певним рухом (§ 9).

Геометрична система будується не тільки на аксіомах (основних властивостях) і теоремах, а й на означеннях.

У підручнику О.В. Погорєлова даються означення всіх понять, які використовуються при побудові геометрії. Більшість означень понять дано так, що в них правильно і послідовно закріплюються результати діяльності мислення. Використовуються в основному означення двох видів -- описові (дескриптивні) і конструктивні. Прикладами конструктивних означень є означення трикутника, кола тощо. Наприклад, трикутник визначається не як частина площини, а як фігура, утворена трьома точками, що не лежать на одній прямій, і трьома відрізками, які попарно сполучають ці точки. Взагалі, до вивчення § 13 «Площі фігур» та § 20 «Обєми тіл» у підручнику О.В. Погорєлова планіметричні, а потім і стереометричні фігури розглядаються як каркасні, що більше відповідає фактичному виконанню рисунків або конструкцій (моделей) цих фігур.

4. У підручнику О.В. Погорєлова немає прийнятої в інших навчальних посібниках символіки. Надмірне захоплення символікою в 7 класі лише гальмує розвиток логічного мислення учнів, оскільки водночас необхідно стежити за логікою міркувань і вникати в зміст застосовуваних символів. Автор дотримується традиційної точки зору на використання символіки: формування понять неможливе без слів, а мислення в поняттях неможливе без усного мовлення. Експериментальні дослідження показали, що учні краще розуміють матеріал без використання спеціальної символіки. Звичайно, вчителеві зручно використовувати більше символіки для скорочених записів на дошці і в зошитах доведення теорем і розвязання задач. Але затрати часу на засвоєння символіки не компенсуються скороченими записами, основний час уроку треба витрачати на навчання учнів міркувати.

5. Наприкінці кожного параграфа підручника з геометрії є запитання для повторення, за допомогою яких здійснюється контроль знань, умінь, навичок учнів. У цих запитаннях передбачено, що учень має вивчити напамять, що повинен уміти довести, а що просто пояснити на прикладах. На оцінку знань учнів істотно впливає і вміння розвязувати задачі з підручника.

Отже, як видно з короткого огляду особливостей викладу матеріалу геометрії, запропонована система аксіом є науковою основою підручника О.В. Погорєлова, вона доступна учням. Всі планіметричні аксіоми розміщені на початку курсу геометрії, вони дають можливість побудувати курс геометрії дедуктивно, на високому науковому рівні. Звертаємо увагу на те, що ця система аксіом є науковою основою для засвоєння найважливіших понять курсу геометрії, таких, як відрізки, кути, рівність відрізків і кутів, рівність трикутників, паралельність прямих, сума кутів трикутника тощо.

Традиційна побудова курсу, в якому основним методом доведення є використання ознак рівності трикутників, приводить до того, що доведення з посиланням на аксіоми триває недовго: досить швидкий перехід до теорем про рівність трикутників дозволяє далі використовувати їх для доведення всіх наступних тверджень і розвязання задач без прямого посилання на аксіоми.

Зрозуміло, що не треба семикласникам пояснювати суть аксіоматичного методу побудови геометрії. Це, по-перше, не вимагається програмою, по-друге, у процесі вивчення геометрії учні поступово звикатимуть до ідеї її дедуктивної побудови, а закінчивши вивчення планіметрії, дістануть загальне уявлення про геометрію як логічну науку. Таким чином, вибрана О.В. Погорєловим система аксіом шкільного курсу геометрії надала можливість досягти досить високого рівня доведення тверджень, а логічна послідовність викладення матеріалу і знайдені автором нові математичні підходи до викладення важких розділів дозволили значно скоротити зміст і обсяг підручника.

Метрична система аксіом О.В. Погорєлова дозволяє уже з 8-го класу ефективно використовувати при доведенні геометричних тверджень координатний метод і цим самим зменшити обсяг матеріалу, а також створити умови для здійснення внутрішньо предметних звязків геометрії і алгебри.

Традиційний зміст і аксіоматична побудова геометрії в підручнику «Геометрія 7-10» О.В. Погорєлова, його внутрішньо предметні звязки і орієнтація на учнів - усе це має єдину мету: розвивати в учнів логічне мислення.