1.4 Основные понятия и формулы тригонометрии

В тригонометрии угол рассматривается как мера вращения, при котором один луч, вращаясь вокруг вершины угла, переходит в положение другого луча. При этом первый луч называют начальной стороной угла, а конечное положение второго (подвижного) луча называют конечной стороной угла.

Угол считается положительным, если переход от его начальной стороны к конечной совершается вращением подвижного луча против часовой стрелки, и отрицательным, если такой переход совершается вращением по часовой стрелке.

Единичный круг - круг с центром в начале координат и радиусом, равным по длине единице. Окружность этого круга называется единичной окружностью.

Координатные оси делят единичный круг и его окружность на четыре равные части, которые называются четвертями, или квадрантами.

Синус - отношение ординаты конца подвижного радиуса к длине этого радиуса.

Косинус - отношение абсциссы конца подвижного радиуса к длине этого радиуса.

Тангенс - отношение ординаты конца подвижного радиуса к его абсциссе.

Котангенс - отношение абсциссы конца подвижного радиуса к его ординате.

Секанс - отношение длины подвижного радиуса к абсциссе его конца.

Косеканс - отношение длины подвижного радиуса к ординате его конца.

Линия тангенсов - касательная к единичной окружности в конце горизонтального диаметра.

Линия котангенсов - касательная к единичной окружности в конце вертикального диаметра.

Синус и косинус угла равны соответственно ординате и абсциссе конца подвижного радиуса единичной окружности.

Если продолжить единичный радиус до пересечения с линией тангенсов, то тангенс угла равен ординате соответствующей точки на линии котангенсов.

Если продолжить единичный радиус до пересечения с линией котангенсов, то котангенс угла равен абсциссе соответствующей точки на линии котангенсов.

Основные тригонометрические тождества

sin ² б + cos ² б = 1

Тождественные преобразования тригонометрических выражений

Функция y = f (x) называется четной, если значение y не изменяется при замене x на -x, т.е. функция y = f (x) называется четной, если f (-x) = f (x)

Функции cos б, sec б, - четные функции, а sin б, tg б, ctg б cosec б - нечетные.

Теоремы сложения: позволяют, зная значения тригонометрических функций двух аргументов б и в, вычислять значения тригонометрических функций от суммы (б + в) и разности (б - в) этих аргументов.

Формулы сложения

sin (б + в) = sin б ? cos в + cos б ? sin в

sin (б - в) = sin б ? cos в - cos б ? sin в

cos (б + в) = cos б ? cos в - sin б ? sin в

cos (б - в) = cos б ? cos в + sin б ? sin в

Формулы приведения

Формулы, при помощи которых тригонометрические функции произвольного угла можно выразить через тригонометрические функции острого угла, называются формулами приведения.

Формулы удвоения и деления аргумента

sin 2б = 2 sin б • cos б

cos 2б = cos ² б - sin ² б

2 cos ²б = 1 + cos 2 б

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

2 cos б ? cos в = cos (б - в) + cos (б + в)

2 sin б ? sin в = cos (б - в) - cos (б + в)

2 sin б ? cos в = sin (б + в) + sin (б - в)