1.5 Решение тригонометрических уравнений

Поскольку каждому значению тригонометрической функции соответствует неограниченное множество углов, то тригонометрическое уравнение, если не сделано каких-либо оговорок, имеет бесчисленное множество решений.

Самый общий метод решения тригонометрических уравнений состоит в том, что различные тригонометрические функции, входящие в уравнение, выражают через какую-нибудь одну из них и, принимая функцию за неизвестное, решают полученное алгебраическое уравнение, в результате чего приходят к одному из так называемых простейших тригонометрических уравнений вида:

sin x = a

cos x = b

tg x = c

ctg x = d

где a, b, c, d - числа.

arcsin a - угол, содержащийся в промежутке от - р/2 до р/2, синус которого равен a.

arccos b - угол, содержащийся в промежутке от 0 до р, косинус которого равен b.

arctg c - угол, содержащийся в промежутке от - р/2 до р/2, тангенс которого равен c.

arcctg d - угол, содержащийся в промежутке от 0 до р, котангенс которого равен d.

Решение произвольного тригонометрического уравнения, как правило, сводится к решению одного или нескольких простейших уравнений. Одной из основных идей решения является идея, общая для всех типов уравнений,-- переход от одного уравнения к уравнению-следствию или равносильному уравнению (или их системе либо совокупности), от него к следующему и т. д., пока не придем к простейшим уравнениям, из которых получаем решение исходного уравнения. При переходе используются как общие методы (пригодные для любого типа уравнений), так и частные, основанные на использовании формул тождественных преобразований тригонометрических выражений.