2.2 Разложение на множители

Приводим уравнение к виду f(x)=0 и представляем левую часть уравнения в виде произведения f₁(x)*f₂(x)*...* f_m(x). Тогда данное уравнение приводится к совокупности уравнений: f₁(x)=0, f₂(x)=0,..., f_m(x)=0. Следует помнить, что эта совокупность не всегда равносильна исходному уравнению и что здесь надо руководствоваться правилом: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а все остальные при этом имеют смысл.

Этот метод рассмотрим на примерах.

Пример 2. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Решение. Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x - 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:

1) . sin() = 0, 2). cos() - sin() = 0,

= , tg() = 1,

= 2 = arctg 1 + ,

= ,

Пример 3. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Решение.

cos 2 x + sin x · cos x - sin 2 x - cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x - sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x - sin x ) = 0 ,

Пример 4. Решить уравнение: cos 2x - cos 8x + cos 6x = 1.

Решение.

cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos І 4x ,

cos 4x · ( cos 2x - cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,