Аксіоматика шкільного курсу геометрії

курсовая работа

2.4 Система аксіом Л.С. Атанасяна

Один із варіантів аксіоматики шкільної геометрії для загальноосвітніх середніх шкіл запропонований авторським колективом під керівництвом професора Л.С. Атанасяна [10].

Основними обєктами (не означуваними поняттями) в ній є точка, пряма і площина, основними відношеннями між основними обєктами - належність, лежати між, накладання (рівність), міра відрізка. Крім того, використовуються загальноматематичні поняття множина, число та ін.

У додатках до підручника з геометрії для 7--9 класів сформульовано 16 аксіом планіметрії:

1. Кожній прямій належать принаймні дві точки.

2. Існує принаймні три точки, які не лежать на одній прямій.

3. Через будь-які дві точки проходить пряма, і притому тільки одна.

4. Із трьох точок прямої одна і тільки одна лежить між двома іншими.

5. Кожна точка О прямої розділяє її на дві частини (два промені) так, що будь-які дві точки одного променя лежать по один бік від точки О, а будь-які дві точки різних променів лежать по різні боки від точки О.

6. Кожна пряма б розділяє площину на дві частини (дві півплощини) так, що будь-які дві точки однієї і тієї ж півплощини лежать по один бік від прямої б , а будь-які дві точки різних півплощин лежать по різні боки від прямої б.

7. Якщо при накладанні збігаються кінці двох відрізків, то збігаються і самі відрізки.

8. На будь-якому промені від його початку можна відкласти відрізок, рівний даному, і притому тільки один.

9. Від будь-якого променя в даній півплощині можна відкласти кут, рівний даному нерозгорнутому куту, і притому тільки один.

10. Будь-який кут НН можна сумістити накладанням з рівним йому кутом з1Ь1 двома способами: 1) так, що промінь Н збігається з променем Лх, а промінь й - з променем А; 2) так, що промінь Н збігається з променем А^, а промінь Н - з променем НЛ.

10. Будь-яка фігура рівна сама собі.

11. Якщо фігура Ф рівна фігурі Ф^ ,то фігура Ф1 рівна фігурі Ф.

12. Якщо Ф1 = Ф2 і Ф2 = Ф3, то ФХ = ФД.

14.При вибраній одиниці вимірювання відрізків довжина кожного відрізка виражається додатним числом.

15.При вибраній одиниці вимірювання відрізків для будь-якого додатного числа існує відрізок, довжина якого виражається цим числом.

16. Через точку, яка не лежить на даній прямій, проходить тільки одна пряма, паралельна даній.

У підручнику з геометрії для 10-11 класів цих же авторів [7] уже у вступі сформульовані три аксіоми стереометрії.

1) Через будь-які три точки, які не лежать на одній прямій, проходить площина, і притому тільки одна.

2) Якщо дві точки прямої лежать у площині, то всі точки прямої лежать у цій площині.

3) Якщо дві площини мають спільну точку, то вони мають спільну пряму, на якій лежать всі спільні точки цих площин.

Далі доводяться два наслідки з перелічених аксіом:

1. Через пряму і точку, яка їй не належить, проходить площина, і притому тільки одна.

2. Через дві прямі, що перетинаються, проходить площина, і притому тільки одна.

При введенні нових понять і доведенні теорем використовуються відомі з планіметрії твердження і деякі аксіоми.

Аксіоми першої групи характеризують взаємне розміщення точок, прямих і площин.

1. На кожній прямій і в кожній площині є точки.

2. Існують принаймні три точки, які не лежать на одній прямій, і принаймні чотири точки, які не лежать на одній площині.

3. Через будь-які дві точки проходить пряма, і притому тільки одна.

4. Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, проходить площина, і притому тільки одна.

5. Якщо дві точки прямої лежать у площині, то і всі точки прямої лежать у цій площині.

6. Якщо дві площини мають спільну точку, то вони мають спільну пряму, на якій лежать всі спільні точки цих площин.

7. З трьох точок прямої одна і тільки одна лежить між двома іншими.

8. Кожна точка О прямої розділяє її на дві частини - два промені - так, що будь-які дві точки одного і того ж променя лежать по один бік від точки О, а будь-які дві точки різних променів лежать по різні боки від точки

9. Кожна пряма а, що лежить у площині, розділяє цю площину на дві частини (дві півплощини) так, що будь-які дві точки однієї і тієї ж півплощини лежать по один бік прямої а, а будь-які дві точки різних півплощин лежать по різні боки від прямої а.

10. Кожна площина а розділяє простір на дві частини (два півпростори) так, що будь-які дві точки одного і того ж півпростору лежать по один бік від площини а, а будь-які дві точки різних півпросторів лежать по різні боки від площини а.

Друга група аксіом належить до понять накладання і рівності фігур.

Перед формулюванням аксіом цієї групи вводиться відношення накладання як відображення простору на себе, при якому виконуються перелічені нижче аксіоми 11-17. Крім того, використовується поняття рівності фігур, яке визначається так.

Нехай Ф і Ф1 - дві фігури; якщо існує накладання, при якому фігура Ф відображається на фігуру Ф^ то говорять, що фігуру Ф можна сумістити накладанням з фігурою ФX або що фігура Ф рівна фігурі ФГ .

Третя група аксіом повязана з вимірюванням відрізків: це аксіоми 18, 19, вони мають той самий зміст, що і аксіоми 14-15 у планіметрії.

Четверта група - це аксіома паралельності.

20. У будь-якій площині через точку, що не лежить на даній прямій цієї площини, проходить тільки одна пряма, паралельна даній.

Делись добром ;)