1. Збіжність ряду в нормованому просторі

Нехай - зліченна підмножина нормованого простору. Ряд

(1)

називається збіжним в , якщо такий існує елемент , що

(2)

При цьому називається сумою ряду (1) і цей факт записується так:

.(3)

Теорема 1. Якщо (1) є збіжним в нормованому просторі , то його загальний член прямує до нуля в

Доведення. Справді, .

Теорема 1. Для того, щоб ряд (1) був збіжний в банаховому просторі , необхідно і достатньо, щоб

.(4)

Доведення. Справді, збіжність ряду (1) рівносильна збіжності послідовності . Але . Звідси і повноти випливає твердження теореми.

Ряд (1) називається нормально збіжним або абсолютно збіжним в топології простору , якщо збіжним в є ряд

.(6)

Теорема 2. Якщо ряд (1) є нормально збіжним в банаховому просторі , то він є збіжним в .

Доведення. Справді, це випливає із теореми 1 і нерівності

.

Приклад 1. Ряд є нормально збіжним в , оскільки

Приклад 2. Оскільки , то ряд є розбіжним в просторі .